聚焦2019 年高考导数经典问题

■陕西洋县中学 (特级教师)

2019年高考导数主要围绕“利用导数求曲线的切线、 确定单调区间 、求极值和最值、求参数范围以及用导数研究函数零点和解决与函数有关的不等式”等经典问题展开,彰显导数的工具性和应用性。

聚焦1 利用导数的几何意义探求曲线的切线方程

例1(2019年江苏卷第11题)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是_____。

解析：设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值,可得切点坐标。

设点A(x0,y0),则y0=lnx0。

故点A的坐标为A(e,1)。

品味：利用导数工具研究曲线的切线方程,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算等素养。解超越方程,一般是构造函数,导数法求解函数的零点,凸显导数的工具性和可操作性。

变式1(1)(2019年全国Ⅲ卷文数第7题)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )。

A.a=e,b=-1

B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1

D.a=e-1,b=-1

(2)(2019全国Ⅱ卷文数第10题)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为( )。

A.x-y-π-1=0

B.2x-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0

D.x+y-π+1=0

解析：(1)y=aex+xlnx的导数为y'=aex+lnx+1。

由函数y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,可得ae+0+1=2,解得a=e-1。又切点为(1,1),可得1=2+b,即b=-1。故选D。

(2)当x=π时,y=2sin π+cos π=-1,故点(π,-1)在曲线y=2sinx+cosx上。因为y'=2cosx-sinx,所以y'|x=π=2cos π-sin π=-2,则y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0。故选C。

聚焦2 利用导数的几何意义探究最值和曲线的公切线

例2(2019 年高考江苏卷第10 题)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是____。

品味：曲线上任意一点到已知直线的最小距离,形助数转化为曲线上过切点的切线与已知直线平行的平行线之间的距离。借助导数的几何意义确定切点坐标,利用点到直线的距离公式求解,渗透了直观想象和数学运算素养,凸显数形结合和转化与化归思想在解题中的应用。……