求三角函数值域的变换技巧

■范梦媛

求三角函数的值域，一般是将三角函数式化为f(x)=Asin(ω x+φ)+B的形式，然后利用三角函数的有界性求出值域。下面举例分析，供大家学习与参考。

一、函数f(x)=asinx+bcosx+c型用辅助角公式

例1定义行列式运算a1a4-a2a3，求函数为一个三角形的最小内角)的值域。

解：由行列式的定义可得因为α是三角形的最小内角，所以，所以+所以。故函数f(x)的值域为

二、函数f(x)=asin2x+bsinx+c型用换元法

例2当0＜x＜π时，求函数f(x)=4的值域。

解：函数1)，则。因为0＜u＜1，所以，所以f(u)≥4，即函数f(x)的值域为[4，+∞)。

三、函数f(x)=asin2x+bcos2x+csinxcosx型用降幂公式

例3求函数y=2sin(π-x)·的值域。

解：由题意可得y=2sinxcosx+2 cos2x+4sin2x=sin2x+(1+cos2x)+2(1-即此函数的值域为

例4当a＞4时，求函数f(x)=的最小值。

解。因为0＜x＜π，所以0＜sinx≤1。所以2＜sinx+2≤3。所以，所以，所以故函数f(x)的最小值为

例5求函数的值域。

解，则表示过点P(cosx，sinx)与Q(2，-2)的直线的斜率，其中点P(cosx，sinx)在单位圆x2+y2=1上。令则直线P Q的方程为y+2=k(x-2)，即k x-y-2k-2=0。易知当直线P Q与单位圆x2+y2=1相切时，k取得最值。易得所以函数