同心圆锥曲线中两个定值命题的证明

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、同心圆锥曲线

定义如果两个圆锥曲线有着公共的焦点F,且与F相应的准线f也是公共的,则称这两个圆锥曲线为同心圆锥曲线.

本文讨论的是椭圆和抛物线为同心圆锥曲线的情形.

二、同心圆锥曲线的两个定值命题

命题1如图1,设椭圆和抛物线为同心圆锥曲线,F和f分别为它们的公共焦点和对应的公共准线,过抛物线上一点A作椭圆的两条切线,切点为M,N,则∠MFN为定值.

图1

图2

命题2如图2,设椭圆和抛物线为同心圆锥曲线,F和f分别为它们的公共焦点和对应的公共准线,过椭圆上一点M作椭圆的切线,且切线交抛物线于A,B两点,则∠AFB为定值.

三、两个命题的一般证法(直角坐标证法)

(1)命题1的证明

设A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN的方程为联立消去y,得

由韦达定理,有

消去x,得

由韦达定理,有

要证明∠MFN为定值⇔cos∠MFN为定值⇔cos∠MFN=为定值.

设椭圆的离心率为e,由椭圆的定义,得

因为

所以

所以 cos∠MFN为定值,即 ∠MFN为定值,定值为∠MFN=arccos(2e2-1).

(2)命题2的证明

要证明∠AFB为定值⇔cos∠AFB为定值⇔cos∠AFB=为定值.其证法与命题1的证明类似,限于篇幅,不再给出证明过程.

评注上述证法的思路比较容易想到,但从证明过程可以看出,运算量很大,解答过程相对复杂,令人望而生畏;另外合理建立直角坐标系也是其中一个难点.

四、两个命题的新颖证法(极坐标证法)

先给出一个引理(如图1,以焦点F为极点,与准线f垂直的对称轴为极轴建立极坐标系)：

引理在极坐标系中,设圆锥曲线Γ的方程为ρ=则 Γ 上的点P(ρ0,θ0)处的切线方程为ρ=

引理的证……