单轴晶体中杂化偏振矢量涡旋光场的传输特性

练 萌 顾 兵

(1 东南大学移动通信国家重点实验室，南京 210096)(2 东南大学先进光子学中心，南京 210096)

单轴晶体具有各向异性，在光学器件设计、非线性光学现象以及柱对称矢量光场生成等方面有广泛应用[1-3].特别是光束在单轴晶体中的传输特性研究，已经引起了越来越多的关注.光束在单轴晶体中的传输可以分为傍轴传输和非傍轴传输，对于这2种传输方式产生的传输规律人们已经建立了比较完善的理论[4-5].

近年来，矢量光场由于其具有非均匀分布的偏振态而受到人们的重视.众所周知，偏振作为光场固有的基本属性，在光与物质相互作用的过程中起到了不可或缺的作用.对光场的偏振态进行调控，使得光场与物质和微纳结构相互作用的过程中产生了很多新颖的现象和效应[6-8].同时，光学涡旋是具有螺旋波前结构和相位奇点的特殊光场，具有确定的光子轨道角动量，在光学微操纵、光学信息传输、非线性光学、生物医学等领域应用广泛.目前，关于矢量光场在单轴晶体中的传输特性研究已经有了很多报道[9-14]，但是尚未有研究讨论杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中的传输特性.本文基于傍轴矢量模型，计算得出杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输的解析表达式.基于该表达式，研究了不同参数下单轴晶体对杂化偏振矢量涡旋光场的传输特性的影响.

1 光在单轴晶体中的矢量传输模型

如图1所示，在笛卡尔坐标系中，假设光束在单轴晶体中沿着z轴方向传输，与晶体的光轴垂直.已知，单轴晶体的介电张量ε的表达式为

(1)

式中，no和ne分别为寻常光o光和非寻常光e光的折射率[15].根据Ciattoni等[5,16]的研究，光束在单轴晶体中垂直于光轴传输时的电场表达式为

E(r,t)=Re[E(r)exp(-iωt)]

(2)

式中，E(r,t)为电场，其中r=xex+yey为横截面上的位置矢量，ex和ey为笛卡尔坐标系Oxy的基矢，t为传输时间；E(r)为电场复振幅；ω为光束频率.

E(r)=Eo(r)+Ee(r)

(3)

式中，Eo(r)和Ee(r)分别为o光和e光的电场复振幅，其电场分别表示为

图1 光场在单轴晶体中垂直于光轴传输的示意图

(4)

(5)

(6)

式(3)～(6)给出了在单轴晶体中光束垂直于光轴传输的表达式，可以看出单轴晶体中的传输场可以表示为o光和e光的线性叠加，两者彼此独立传输.根据这个傍轴矢量传输模型，可以求得任意光场在单轴晶体中的表达式，从而研究光场的传输特性.

2 杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中的传输理论

在笛卡尔坐标系中，杂化偏振矢量涡旋光场入射至单轴晶体中，沿着垂直于光轴的方向传输.在入射平面z=0上，初始杂化偏振矢量涡旋光场可以表示为[17]

E(r,φ,0)=A(r)[exp(iφ)ex+exp(-iφ)ey]·

exp(-imφ)

(7)

(8)

(9)

将式(8)、(9)代入式(6)，计算得到杂化偏振矢量涡旋光场x、y分量的二维傅里叶变换表达式为

(10)

(kx-iky)2

(11)

在傍轴近似下，将式(8)～(11)代入式(4)、(5)，经过计算化简之后，可以得到杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中垂直于光轴方向传输时其x、y分量的表达式为

(12)

(13)

由式(12)、(13)可以看出，单轴晶体中传输场的x分量仅和e光有关，而y分量仅和o光相关，且这2种平面波分别沿着x方向和y方向偏振.由此可见，光束入射至单轴晶体中会分解成o光和e光，传输场可以表示为o光和e光的线性叠加.其中，o光在晶体中的传输是各向同性的，而e光在晶体中的传输是各向异性的，同时光场在传输过程中发生衍射，致使整个传输场的光场分布失去原有的对称性.与此同时，杂化偏振矢量涡旋光场的相位分布也发生了变化.式(8)、(9)说明了初始杂化偏振矢量涡旋光场的x分量相位为零，y分量的相位分布和x、y坐标有关.进入单轴晶体后，杂化偏振矢量涡旋光场的x分量有了相位，并且相位分布仅仅和传输距离z有关，和坐标x、y无关；而y分量不仅和传输距离z有关，还和坐标x、y有关.

3 数值结果与分析

根据光场传输表达式(12)、(13)，对杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中垂直于光轴的传输进行数值计算，选取固定的参数λ=532 nm和no=2.

图2给出了杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输不同距离时的光强分布，其中I为归一化光强值，计算参数选取ne/no=1.5和ω0=20 μm.由图可知，随着传输距离的增加，光场逐渐失去原有的对称性.由于受到单轴晶体各向异性的作用，涡旋光场的暗中心消失，光束由最初的圆环形状慢慢变成包裹着一个椭圆对称的实心核的椭圆对称的环.当光束继续传输，中心的光强越来越强，外围椭圆环在y=0平面的光强减弱直至为零，最后变成一个不完整的椭圆环.

图2 杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输不同距离时的光强分布

图3给出了不同初始光束半径的杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输相同距离时的光强分布，计算参数选取ne/no=1.5和z=5 mm.由图可知，在同一观察平面上，初始光束半径不同，传输光场分布也不相同，这说明单轴晶体对于不同尺寸的杂化偏振矢量涡旋光场的影响各不相同.当ω0=40 μm时，传输光场的形状非常接近入射前的初始光场，而当ω0越小，传输光场受到单轴晶体各向异性的影响越大，光场分布的变化越大.

图3 不同初始半径的杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输相同距离时的光强分布

图4给出了杂化偏振矢量涡旋光场在不同的单轴晶体中传输相同距离时的光场分布，计算参数选取ω0=20 μm和z=5 mm.在同一观察平面上，杂化偏振矢量涡旋光场在ne/no不同的单轴晶体中垂直于光轴传输时，传输光场的光强分布发生了不同的变化.当ne/no=1时，光场分布保持初始圆对称；当ne/no<1，即在负单轴晶体中传输时，光场沿y方向延伸，且在x=0平面上外环光强减弱；相反，当ne/no>1，即在正单轴晶体中传输时，光场沿x方向延伸，且在y=0平面上外环光强减弱.这说明单轴晶体的ne/no不同，各向异性强度不同，对杂化偏振矢量涡旋光场的传输特性的影响也不同.

图4 杂化偏振矢量涡旋光场在不同的单轴晶体中传输相同距离时的光强分布

图5～图7分别展示了传输距离、初始光束半径和单轴晶体的ne/no等参数对于杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中的偏振态分布、自旋角动量分布以及相位分布等的影响，图中S为自旋角动量，φx和φy分别表示杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输时x分量和y分量Ex和Ey的相位分布.为了清晰地表现出光场的偏振态分布，在采用单一色的光强分布图上用线圈标注各点的偏振态，红色表示左旋偏振，白色表示右旋偏振.

(a) 光场偏振态分布

(b) 自旋角动量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

图5杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输不同距离时的各参量分布

从图5可以看出，杂化偏振矢量涡旋光场各点的偏振态随着传输距离的增加而发生改变，传输过程中光场的偏振态还是杂化偏振，而各个点的偏振态不断地变化成线偏振、椭圆偏振和圆偏振.特别地，虽然光束的暗中心受到单轴晶体各向异性的影响而消失，但是在光场中心的偏振态依然是不确定的.从图5(b)来看，随着杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中的传输，自旋角动量分布发生了旋转，形状也产生了扭曲型的畸变.图5(c)和(d)描绘了杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输时x分量和y分量相位分布的变化.在入射面，x分量是相位为零的标量场，传输一段距离后，产生相位且呈环形分布；y分量的初始等相位线是从坐标原点发出的射线，且在横截面上的周期数为2，进入单轴晶体后，相位分布呈现中心对称的非均匀的涡旋状，方向为逆时针环绕.由此可知，单轴晶体对杂化偏振矢量涡旋光场的相位分布也有一定的调控作用.

图6给出了不同初始半径的杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输相同距离时的光场偏振态分布、自旋角动量分布以及Ex和Ey的相位分布.从图6(a)可以看出，在同一观察平面，不同初始光束半径的杂化偏振矢量涡旋光场各点的偏振态不同.同时，与偏振态相关的自旋角动量分布也不同.ω0越小，光场所受到的单轴晶体的影响越大，自旋角动量的畸变越严重.观察相位分布图，杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输时x分量和y分量相位分布的变化与初始光束半径有密切的关系，光束半径越小，相位分布变化越大.由此可知单轴晶体对小尺寸的杂化偏振矢量涡旋光场的相位分布有着更强的调控作用.

(a) 光场偏振态分布

(b) 自旋角动量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

图6不同初始半径的杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输相同距离时的各参量分布

(a) 光场偏振态分布

(b) 自旋角动量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

图7杂化偏振矢量涡旋光场在不同的单轴晶体中传输相同距离时的各参量分布

图7给出了杂化偏振矢量涡旋光场在不同ne/no的单轴晶体中传输相同距离时的光场偏振态分布、自旋角动量分布以及Ex和Ey的相位分布.同样地，从图7(a)看出，不同ne/no的单轴晶体作用于初始光束半径相同的杂化偏振矢量涡旋光场，各点的偏振态会发生不同的变化.自旋角动量偏转的角度以及产生的形变也不同.观察相位分布图，杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中传输时x分量的相位分布受到ne/no的影响，当ne/no>1时，相位分布沿y方向延伸；当ne/no<1时，相位分布沿x方向延伸.而y分量的相位不随着单轴晶体ne/no的变化而变化.

4 结论

1) 基于傍轴矢量传输理论，推导出了杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中垂直于光轴传输的解析表达式.由表达式可知，单轴晶体中传输场的x分量仅和e光有关，y分量仅和o光相关，传输场可以表示为o光和e光的线性叠加.

2) 基于传输场的表达式，通过数值模拟研究发现，杂化偏振矢量涡旋光场在单轴晶体中的光场分布、偏振态分布、自旋角动量分布以及涡旋相位分布和光场的初始光束尺寸、在单轴晶体中的传输距离以及单轴晶体e光和o光折射率比值有密切的关系.

3) 本文利用单轴晶体的各向异性对既含有复杂偏振特性又含有光学涡旋的杂化偏振矢量涡旋光场进行了调控，为光学捕获、微粒操控、量子信息等领域提供了新的技术手段.