关于《长方形和正方形的认识》的教学再思考

韩辉

摘  要：著名心理学家奥苏泊尔有这样的观点：假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。这也是我们在教学中的一条“铁律”。这条“铁律”告诉我们，在教学中学生已有的基本经验，应成为我们教学的起点。文章结合《长方形和正方形的认识》的教学实际情况，就如何基于学生的已有经验进行教学展开探讨。

关键词：教学反思;教学设计;长方形;正方形

最近，听了两节关于《长方形和正方形的认识》的课，两位教师的教学设计都是落脚在引导学生通过观察和操作认识长方形、正方形的一些基本特征，概括出体会长方形与正方形的联系和区别。这些的确是教学的重点，但真的是教学的难点吗？课堂上，教师、学生花很大的力气用一节课开展的探究活动，到底发挥了多大的价值？笔者认为，这节课探明教学的起点至关重要，落实“图形与几何”的教学目标是值得思考的。

我们不妨回忆一下知识呈现的逻辑关系：在一年级学生已经直观地认识了长方形、正方形的形状，通过折一折、摆一摆、剪一剪、拼一拼等活动，初步了解了图形的特点，学会辨别与区分。三年级再次出现正方形和长方形时，教学就应该站在一年级认识的基础上，要求学生从“角”和“边”的特点这个视角来寻找、概括长方形和正方形的特征，比较二者的联系与区别，学生的思维需要经历从表象认识到理性思考的跨越。所以，教学的目标更应该体现该领域的核心价值。

■一、联结经验，由“日常概念”到“几何概念”

“图形的认识”是“图形与几何”领域中的重要内容，主要在于刻画图形的特征。诚如郑毓信教授指出的那样，对于图形的认识不应停留在“经验的认识”，特别是相关概念的现实原型或直观表象，而应帮助学生清楚地认识到这一点：几何抽象也是一个重新构建的过程。

【片段1】

老师上课前给大家布置了一项任务，还记得吧？（每人做4个正方形和4个长方形）你能说说，怎么做的吗？学生表示都是依据自己的经验通过折或量的办法制作了长方形和正方形。再提出一个更高层次的问题：“凭什么说它是长方形或正方形呢？”引导学生由经验出发，想办法进行归纳、推理、证明，从而缩短学生与学习内容之间的距离，引发学生内在的探究欲望。

这个教学片段的设计让学生在经历观察图形—验证图形—概括特点的图形证明过程中，提高数学表达能力。学生之前认识的长（正）方形是“日常概念”，而数学中所说的长方形或正方形不是简单地等同于日常生活中所看到的图形，不应该靠直观表象进行判断，必须从特征中进行求证判断，具有一般意义上的长方形（正方形），即以抽象的“几何概念”的建立作为这节课的研究方向。

■二、经历探究，由“简单操作”到“数学证明”

在探究“长方形和正方形有什么特点”时，要重点关注怎样在有限的时间里让探究真正发生，而不是满足于盲目的、低效的简单操作。在活动前，应该让学生思考：我们要证明什么？怎么证明？怎样表达自己的证明成果？给学生一个研究问题的方向。当然，严格的数学证明已经超过了小学数学的范围，但是应当让他们清楚为什么需要这样去做。

【片段2】

1. 请描述一下怎样的图形是长方形？以此唤醒学生的已有经验。学生边汇报、边整理、边板书，如下：

长方形，四条边，四个直角，对边相等。

2. 怎么证明长方形对边相等？怎么证明4个角是直角？

教学中，学生是通过折一折、量一量、画一画的活动去证明自己的直觉发现。对于三年级学生而言，能够自觉采用这样简易的证明方式，已经很不错了。但是，我们需要思考如何营造更贴近数感的学习过程，通过操作得到的数学发现不应该是教学的终点，它应该和理性的分析联系起来，让学生初步感受数学证明的价值。

3. 如果长方形对边不相等，将是一个怎样的图形？

我们不仅要让学生通过证明来回答“凭什么说它是长方形或正方形？”还要，进一步追问学生：“如果长方形对边不相等，将是一个怎样的图形？”首先，允许学生把自己想象的图形画出来，然后证明如果不满足对边相等的条件，也无法满足四个直角，那么与我们实验揭示的长方形的图形特征不符。学生从“正例”和“反例”的比较中，体会到研究问题的路径。

学生得出长方形的特征后，反思回顾“刚才我们是用什么方法研究的？”“用这样的研究方法可以研究正方形的特征吗？”通过这些问题的追问，让学生复制研究的方法，探索新的问题，复制研究的方法，探索新的问题，体会结论的来源不仅仅是直觉发现，还可以是逻辑推理。在教学中，我们要重视“动手操作”，但更需要引导学生在动手操作基础上向更高的目标挺进，将学生的注意力由单纯的“动手”引向深入的“思考”。

■三、加强比较，由“联系转化”到“空间想象”

与以往相比，《数学课程标准》（2011实验稿）对“图形的认识”提出了新的要求。一是对图形自身特征的认识;二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。所以，本节课应该改变以前只重特征的教学，而应该基于学生几何思维的实际水平，通过多种思维活动的练习，加强图形的比较，充分利用图形的联系与区别进行转化，妙用想象巩固特征。

在教学中，我们需要引导学生深入考察长方形和正方形之间的相互关系，帮助学生建立起整体的认知结构。长方形和正方形都属于四边形，是特殊的四边形，而正方形也属于特殊的长方形。它们之间存在集合关系，即正方形是长方形的子集，长方形是四邊形的子集。对于三年级学生而言，学生不容易理解其中的集合关系，教师可以通过多种思维活动的练习让学生感受其中的关系。

【片段3】

1. 变一变

（1）既然长方形和正方形之间有区别，也有联系，那么，你有办法把你手中的正方形变成一个长方形吗？学生通过对折，将正方形变成长方形，追问学生对折的目的是什么？（改变边的长度）长方形可不可以改造成一个正方形？

学生都是通过改变边的长短，实现了长方形和正方形之间互相转变。紧接着让学生思考为什么不通过改变“角”的办法使图形得以转化呢？

我们通过这样的设计，让学生发现“变化中的不变因素”，更凸显了本节课的重点研究“图形的特征”的价值，使概念得到了内化。

（2）用一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，折一个最大的正方形，正方形的边长是几厘米？先让学生想象一下折后的图形是怎样的，再做出合理的解释。最后，还可以拓展想象一下，剩下的图形是怎样的图形，它的长、宽分别是多少？利用图形间的联系与转化，培养学生的空间想象能力。

2. 猜一猜

（1）书中夹了一个长方形或者正方形，露出一条边，你可以判断是长方形还是正方形吗？如果我允许漏出两条边，你觉得还需要哪条边？为什么？

（2）如果漏出一个直角行不行？两个呢？三个呢？为什么？

通过猜的活动，应用图形的特征进行说理，由“直观的认识”上升到“概念的定义”，并进行想象和推理。

3. 摆一摆、拼一拼

（1）拼一拼：

想拼成一个正方形，要用：

想拼成一个长方形，要用：

（2）摆一摆：发现几个正方形可以摆成一个长方形或正方形。

以上三个层次的练习设计基于图形的特征、联系与转化，通过丰富的素材帮助学生经历观察、操作、想象、推理、表达等活动，发展学生的空间想象、推理能力，理解概念内涵。从而使“图形的认识”的学习活动不再是单纯地依赖模仿与记忆，而是着力帮助学生理解概念的本质。

长方形和正方形的认识，是每个教师和学生都很熟悉的内容，但人们常说：熟悉的地方没有风景。如果我们能重新思考“教学能承载什么？”“学生知道什么？”“我们可以带学生到哪里去？”“我们怎样到达？”……可能我们就会发现，熟悉的地方也会有不同的风景。