行星变速机构换挡变胞与其构态属性自动识别

符升平 罗 宁

(1.集美大学机械与能源工程学院， 厦门 361021； 2.中华大学工程科学博士学位学程， 新竹 30012；3.厦门理工学院机械与汽车工程学院， 厦门 361024)

0 引言

行星变速机构广泛应用于车辆动力传动系统中，通过操纵离合器或制动器改变功率传递路线，实现不同的挡位，具有结构紧凑、传动平稳、传递功率大和易于实现动力换挡等特点，满足车辆变速器高速、高功率密度和多挡化的发展趋势。但是，该机构布置形式灵活，用多个行星排和操纵元件组成预定挡位数和传动比的可行传动方案繁多，通过手动计算挡位传动特性进行筛查的传统设计方法不能满足要求。因此，结合计算机辅助设计方法，自动分析传动特性，识别挡位属性，使性能分析和方案设计相统一，能够提高车辆传动系统的设计效率。

目前，关于行星变速机构传动特性自动求解和分析的建模方法主要采用图论[1-6]、键合图理论[7-9]和经典数学或力学法[10-13]。图论模型适用于计算机建模和求解，实现方案设计和性能分析统一[4，14-16]，但不能描述运动副动力学变化特征和表征换挡的构态演变过程；键合图理论用统一方法处理多能域并存的复杂动力学系统，便于计算机自动建模[17-18]，但不能充分表达构件和运动副的空间特征，自动识别挡位及其传动特性的功能不足；经典数学或力学方法依赖于传统的线图分析综合法、多自由度构件分析综合法或组合设计法，其效率较低，对空间拓扑结构的机构学意义不明显。因此，研究一种基于数学表征换挡变胞过程的挡位构态属性自动识别方法对行星变速机构的计算机辅助设计具有重要意义。

行星变速机构与变胞机构在功能域和物理域上的变换原理相一致，属于广义的变胞过程。变胞机构的相关理论目前已趋于成熟[19-21]，但应用于齿轮变速机构换挡的研究较少。针对数学表征行星变速机构换挡变胞过程及自动识别各挡位构态属性较难的问题，本文基于约束函数构建相对转速意义下行星变速机构的通用邻接矩阵，推导行星变速机构构态演变的变胞方程，揭示构态演变机理，提出基于构态变胞方程的构态属性自动识别方法，以期为车辆传动系统方案设计和性能分析的集成计算提供参考。

1 行星变速机构变胞理论

行星变速机构由操纵元件(离合器和制动器)和行星齿轮传动组成。操纵元件的结合和分离，实现不同挡位，同时改变行星变速机构的构态，是一种构态演变的变胞方式。

基于变拓扑机构组成理论[22]，行星变速机构某一挡位具备特有及固定的拓扑结构Tg，称为行星变速机构变拓扑机构T的第g阶构态(1≤g≤ρ，ρ为挡位数)，则

(1)

式中Ψc——不变运动链集合

Ψv——可变运动链集合

Eg——构件集合

Jg——运动副集合

Fg——Jg到Eg的关联函数集合，表示构件与运动副的关联关系

γ——构态功能转移图[23]的有向边数

运动副约束相邻构件表面的运动，减少自由度，随机构构态的变化产生、消失或改变性质。在全局坐标系下，定义运动副广义作用力向量为

(2)

式中wj——全局坐标系j方向广义作用力

定义最大广义作用力向量为

(3)

式中wjmax——全局坐标系j方向最大广义作用力，由运动副表面的加载条件和结构形状等决定

(4)

式中ωm、ωn——相邻构件m和n的转速

关联关系集合Fg表示构件与运动副的拓扑运动学特征，定义关联关系为相关联运动副的运动学关系

(5)

单行星排包含3个基本元件，3元件的运动学关系为

(6)

其中

式中k——行星排传统意义的特性参数

Z——齿数

下标s表示太阳轮，r表示齿圈，c为行星架。

为了采用二元关系描述单行星排拓扑关系，利用机构转换法将单行星排转换为相对转速意义下的定轴齿轮传动，如图1所示。

图1 单行星排等效拓扑模型Fig.1 Equivalent topology model of single planetary transmission

图1中，黑圈表示构件，有向实线表示运动副，反映相邻构件的相对转速；虚线表示关联关系，反映相关联运动副的运动学关系；有向实线方向表示动力传递，关联关系箭头构成闭环，为保证k>1，箭头从太阳轮指向齿圈。图1对应的运动学关系为

(7)

定义绝对转速为零的机架G、输入构件I和输出构件O，I和O分别与机架G相连。行星排构件集合Eg包含基本构件和机架，基本构件包括输入构件、输出构件、制动构件和辅助构件；运动副集合Jg元素为两个相关联构件的相对转速；关联关系集合元素Fg为各行星排的特性参数。

在建立多行星排等效拓扑模型时，在合并相同构件后，为反映每个行星排3个基本元件之间的拓扑关系，保留约束函数的数量，即不合并等效拓扑模型中2个相同构件之间的不同名约束函数。用实线将行星变速机构的胞源拓扑结构中具有刚性连接的两构件连接，得到刚性构件分析图。通过连通性分析，建立每个连通分支所关连构件的转矩平衡方程，作为建立等效拓扑模型的约束条件，即

(8)

式中T1,w2，T2,w2，…，Tn,w2——刚性构件分析图中第w2个连通分支相关联的1,2，…,n个构件转矩

β——连接分支数

(9)

2 行星变速机构换挡变胞分析

2.1 制动器制动分析

操纵换挡制动器，制动第m构件与机架G合并，该构态演变过程属于合并构件式变胞：消除第m构件及其运动副，所有运动副都转移到机架G，并且机架G反映该制动构件后续所有的变胞过程。新构态的构件邻接矩阵阶数减少一阶，推导此演变过程的变胞方程为

(10)

(11)

2.2 离合器接合分析

操纵换挡离合器，离合器将第m和n构件同步，该构态演变过程也属于合并构件式变胞：消除被同步第m或n构件及其之间的运动副，删除被同步构件，被保留构件反映其后续所有的变胞过程。新构态的构件邻接矩阵阶数减少一阶，以被同步的第m构件为例，推导此演变过程的变胞方程为

(12)

(13)

2.3 特殊构态识别

(1)行星排整体回转构态

(14)

(2)行星排空转构态

(15)

2.4 实例

以图2所示行星变速机构为例，建立其等效拓扑模型，如图3所示。

图2 某行星变速机构Fig.2 Some planetary shifting transmission

图3 某行星齿轮传动等效拓扑模型Fig.3 Equivalent topology model of some planetary gear transmission

式中 ∩——与运算，同时满足两个约束函数

(1)离合器将构件z3和输出构件O接合

根据式(13)得到新构态的关联关系邻接矩阵为

图4 新构态等效拓扑模型Fig.4 Equivalent topology model of some new configuration

(2)离合器将构件c和输入构件I接合，且z2和z3制动

根据式(11)、(13)得到新构态的关联关系邻接矩阵为

图5 新构态等效拓扑模型Fig.5 Equivalent topology model of some new configuration

3 行星变速机构构态属性自动识别

行星变速机构构态属性指其传动参数，主要包括传动比和转矩。目前一般采用解析法和图解法求解行星变速机构的传动特性参数，较难实现行星变速机构传动特性的自动建模和求解。基于相对转速意义下的行星变速机构邻接矩阵和换挡变胞方程，对传动比和转矩进行自动求解。

3.1 传动比

3.1.1相对转速方程

行星变速机构基本构态对应某一挡位，自由度为1，表明在该构态工作时，所有构件中仅有1个转速独立的构件。由此可以推出若不包括机架G在内，对于i′个行星排参与工作的工况，对应的工况图模型必有i′+1个基本构件和2i′+2条有向边，且存在i′+1个基本回路。

定义基本回路为基本构件组成的闭合空间。根据相对转速的特点，基本回路中各构件间的相对转速代数之和必等于零，称为相对转速方程。对于i′个行星排参与工作的工况，由对应的工况图模型可以列出i′+1个相对转速方程，则有

(16)

式中P——该构态对应的基本回路矩阵

3.1.2特性参数识别

在各构态构件邻接矩阵中关联相同两构件的约束函数所表示的相对转速是不同的，而在各构态下参与工作的同一行星排相对运动学特性是相同的，即在所有构态中同一行星排对应的联接关系邻接矩阵所表示的广义特性参数相同，建立行星排广义特性参数kg计算式为

(17)

p——行星排数

行星变速机构的行星排包括普通单星和双星行星排，建立普通单星和双星行星排k(传统意义上的特性参数)与广义特性参数kg之间的转换关系，实现特性参数识别。

(1)普通单星行星排：根据各构件的拓扑关系，得到图6所示的6种情况，且分别给出kg与k之间的转换关系式和构件对应关系，实现普通单星行星排内传动比(即传统意义上特性参数k)的确定。

图6 普通单星排k值识别Fig.6 Recognition of k aiming at single planet transmission

(2)双星行星排：解析单星排与双星排之间运动学关系，以增大行星排特性参数的幅值为原则，推导双星排方案的特性参数。双星排的三元件用s′、c′、r′来表示，其特性参数用k′表示。

将单星排的齿圈r作为双星排的行星架c′，行星架c作为双星排的齿圈r′，则它们关系为

(18)

3.1.3传动比计算

传动比ic计算流程为：

(1)已知行星排特性参数和构件属性，并由式(17)可得出p个联接关系对应的方程为

(19)

通过关联关系邻接矩阵识别出参与工作的行星排，则从p个方程中选出参与工作的行星排对应的方程。

(2)设输入构件I转速为单位值，即

(20)

ωI、ωO、ωG——输入构件、输出构件和机架的转速

(3)推导该构态的基本回路矩阵，由式(16)列出对应的相对转速方程。

联立式(16)、(19)、(20)，数值求解线性代数方程组，在获取构件邻接矩阵中约束函数的基础上，得到该挡位传动比为

3.1.4实例

以图7所示某拖拉机用3排行星变速机构为例，根据上述传动比计算方法，完成第1挡(L2、z2和z3结合)和第6挡(L1、L3和z2结合)传动比的自动建模和求解。

图7 某行星变速机构Fig.7 Some planetary shifting transmission

根据图6所示k值识别方法，可知图7行星变速机构的第1、2、3行星排分别对应图6d～6f 3种转换关系，分别求得kg1=-0.66，kg2=-1.59，kg3=-0.35。

第1挡构态拓扑模型如图8a所示，对应的关联关系矩阵为

(21)

由于z1对应行只有1个元素为1，根据特殊构态判定方法，表明第1行星排空转，不参与工作。因此，删除构件z1及对应的关联关系，得到第1挡等效构态拓扑模型，如图8b所示，推导其基本回路如图9所示。

图8 第1挡等效构态拓扑模型Fig.8 Equivalent topology model of the 1st gear-shift configuration

图9 第1挡工况等效构态的基本回路Fig.9 Fundamental loop of configuration under the 1st shift

根据图9所示的基本回路，结合式(16)，建立相对转速方程为

(22)

根据式(19)建立联接关系对应方程

(23)

归一化输入构件转速

(24)

联立方程(22)～(24)，采用Newton法对其进行迭代求解，得到该构态下传动比ic1=7.2。

根据换挡操作方式，同理可得到第6挡工况对应的等效构态拓扑模型及其基本回路(图10)，第1、2行星排参与工作。

根据图10所示的基本回路，结合式(16)，建立相对转速方程

(25)

图10 第6挡工况等效构态的基本回路Fig.10 Fundamental loop of configuration under the 6th shift

同理联合联接关系对应方程和输入构件转速归一化方程，数值求解得到该构态下传动比ic6=1.58

通过相关数学模型的建立和传动比求解通用程序的编制，完成行星齿轮变速机构换挡各构态传动比的自动求解。该方法基于机构拓扑描述，根据换挡变胞表征方法，自动生成等效构态拓扑模型的基本回路矩阵，简明高效，同时为筛选设计方案提供支撑。

3.2 转矩

3.2.1转矩推导

(1)建立行星排3个基本构件的转矩关系为

Ts,α∶Tr,α∶Tc,α=1∶kα∶-(1+kα) (α=1,2,…,p)

式中kα——第α个行星排的特性参数

Ts,α、Tr,α、Tc,α——第α个行星排的太阳轮、齿圈和行星架传递的转矩

(2)根据离合器动力传递特性，接合状态下离合器主被动件的转矩关系为TL1+TL2=0，分离状态下离合器主被动件的转矩关系为TL1=TL2=0。

(3)联合建立等效拓扑模型时提出的约束条件，并且归一化输入构件的转矩TI，即TI=1。

(4)根据上述步骤，自动建立行星变速机构的完备性转矩方程组，求解得到各构件的操纵力矩和转矩。

3.2.2实例

根据上述流程，自动建立1挡构态对应的转矩方程组，得到各构件的转矩对应关系为

(26)

基于行星变速机构变胞构态分析自动建立的系统转矩方程与传统分析结果一致，表明了该方法的有效性。

4 结论

(1)解析了行星变速机构的构件、运动副、关联关系等集合论的概念，定义相对转速意义下行星排构件之间的约束函数，推导的行星变速机构稳定构态下的邻接矩阵能够反映行星变速机构各构态的拓扑特征和传动特性。

(2)建立了换挡操纵元件变胞器，推导了行星变速机构构态演变的变胞方程，揭示了构态演变机理，不仅直观、准确地描述了变拓扑结构的换挡过程，而且实现特殊构态的自动识别。

(3)提出的基于构态变胞方程的传动比和转矩自动求解方法能够完成不同挡位传动比和转矩的自动求解，实现行星变速机构变胞构态属性的自动识别，通过某拖拉机行星变速器实例证明了该方法的可行性和有效性，为智能设计车辆动力传动系统提供了参考。