城市轨道交通钢桥疲劳损伤等效系数研究

王春生，徐有良，赵会东，张培杰

(1.长安大学公路学院，陕西，西安 710064；2.中国铁路总公司工程设计鉴定中心，北京 100844)

随着中国经济的稳步发展、城市化进程的不断加深，大型城市、超大城市数量日益增多[1]。城市轨道交通作为解决城市公共交通困境的重要途径，得到了广泛的应用。城市轨道交通钢桥作为轨道交通基础设施的重要组成部分，其抗疲劳设计是保证桥梁结构安全使用、轨道交通体系顺畅运营的关键技术问题。

中国铁路钢桥疲劳验算经历了单一安全系数下容许应力设计、分细节容许应力设计和考虑累积损伤的分细节应力幅容许应力设计3个阶段[2]，容许应力法以线性弹性理论为基础，设计方法简单，但验算结果与实际情况吻合性不高。中国规范[3―5]中关于城市轨道交通钢桥的疲劳验算尚没有详细规定。Eurocode[6―8]给出适用于铁路和地铁等轨道交通钢桥疲劳验算的损伤等效系数法，并制定了详细的疲劳荷载谱，在满足疲劳安全性的同时结构设计更为经济合理。损伤等效系数法依据S-N曲线和Miner理论[9―11]，对构件在静力荷载模型作用下的应力通过损伤等效系数进行转换，使之与疲劳抗力相比较并判断其疲劳安全性，该方法省去了通过荷载谱计算疲劳损伤的繁琐运算。

但由于欧洲规范中采用的 8种标准列车、2种多箱快速列车/地铁及4种轴重25 t列车与中国轨道交通体系所使用的车型存在差异，且欧洲规范[12]每种列车编组均规定唯一对应的列车最大容许速度，也导致欧洲规范中的内容无法直接应用于中国。此外，已有研究中对损伤等效系数法研究一般采用的是单一斜率的S-N曲线[13]，但采用双斜率S-N曲线计算构件或细节损伤等效系数的研究较少，已有的多斜率的S-N曲线疲劳评估相关研究多针对公路钢桥的典型疲劳细节[14]。因此，中国轨道交通钢桥的疲劳设计及验算内容仍需完善及深入研究。

本文基于Eurocode双斜率S-N曲线和损伤等效系数原理，结合中国城市轨道交通列车编组情况及中国轨道交通钢桥设计体系，以ZC、ZK和LM71图式作为疲劳验算的荷载模型，求解分析了城市轨道交通钢桥的各项疲劳损伤等效系数，提出考虑列车最大容许速度影响的损伤等效系数，对修正后的损伤等效系数进行计算。计算分析结果表明所求损伤等效系数可较好地应用于中国城市轨道交通钢桥疲劳验算，并可为相关规范编制提供参考。

1 损伤等效系数法基本原理

1.1 基于损伤等效法的疲劳验算

损伤等效系数法要求结构或构件在其设计使用年限内不发生疲劳破坏，设计使用年限内疲劳性能应当满足如下条件[8]：

在疲劳验算中，等效应力幅与参考应力幅和损伤等效系数有如下关系[8]：

式中：λ为损伤等效系数；为损伤等效冲击系数；为参考应力幅，为疲劳验算荷载作用在桥梁上时疲劳细节的最大应力与最小应力的差值。σPmax为疲劳验算荷载作用在桥梁上时疲劳细节的最大应力值；σPmin为疲劳验算荷载作用在桥梁上时疲劳细节的最小应力值。

损伤等效系数与多种因素有关，分别用λ1、λ2、λ3和λ4表示。则损伤等效系数λ可由式(3)表示[8]：

式中：Eurocode中λ1、λ2、λ3和λ4代表的影响因素相互独立，其中λ1为考虑各种类型梁行车损伤效应的系数，与危险影响区域或影响线临界长度有关；λ2为考虑年交通量的系数；λ3为考虑桥梁设计使用年限的系数；λ4为当结构构件受多于一个轨道作用时采用的系数；λmax为根据疲劳极限得出的最大λ值。

1.2 疲劳细节及对应细节等级的选取

1)S-N曲线

中国城市轨道交通钢桥构件及其疲劳细节采用EN 1993―1―9[7]中S-N曲线，如图1所示。

图1 EN 1993―1―9中S-N曲线Fig.1 S-N curves in EN 1993―1―9

EN 1993―1―9规定，对于名义应力谱，其对应的疲劳强度曲线为：

式中：Δσi为应力幅水平；m为S-N曲线的斜率绝对值；Ni为与Δσi对应的疲劳寿命(循环次数)；ΔσD为常幅疲劳极限。若应力幅水平Δσi高于ΔσD，则m=3；若应力幅水平Δσi低于ΔσD，则m=5。ΔσL为疲劳截止限，若应力幅Δσi低于ΔσL，则结构不会产生疲劳损伤。考虑疲劳荷载分项系数和疲劳强度分项系数，可以导出不同应力循环下构件的疲劳寿命与应力大小关系。

式中，NRi为构件在应力幅Δσi作用下循环至疲劳破坏的循环次数。

2)Miner线性累积损伤理论

根根 Miner理论，在ni个循环的变幅应力幅Δσi作用下造成的疲劳损伤为：

2 列车类型及动力系数

2.1 列车编组

城市轨道交通系统涵盖地铁系统、轻轨系统、单轨系统、有轨电车、磁浮系统等多种轨道运输系统，同铁路列车编组相比，城市轨道交通列车编组载重较轻，长度较短。考察实际运营列车，提出 6种列车编组代表部分城市轨道交通列车，进行损伤等效系数计算。将6种列车编组记为A6、A8、B6、B8、C4和C6，编号中英文字母代表单节列车类别，阿拉伯数字代表列车节数。6种列车编组中，A6和A8、B6和B8、C4和C6列车编组对应的单节列车类型相同，而列车的节数不同。6种列车编组详细的图式如图2所示。

图2 列车编组Fig.2 Traffic types

2.2 疲劳荷载模型

Eurocode以LM71图式作为一般轨道交通钢桥的疲劳荷载模型，如图3(c)所示[6,8]。铁路列车荷载图式(TB/T 3466―2016)给出了高速铁路 ZK 图式、城际轨道ZC图式、客货共线ZKH图式和重载铁路ZH图式4种普通荷载图式[15]。部分学者根据实测数据及统计学方法给出了对应地区的轨道交通普通荷载图式[16―17]。

由于中国城市轨道交通相关规范并未给出疲劳荷载模型，在选取疲劳荷载模型时应尽可能选取符合城市轨道交通列车实际情况的荷载图式。铁路列车荷载图式[15]中客货共线、重载铁路的荷载模型与城市轨道交通实际荷载存在较明显差异，因此选用欧洲规范荷载图式、中国高速铁路荷载图式及城际轨道荷载图示共3种客运列车荷载图式作为疲劳荷载模型，如图3所示。采用这3种荷载图式进行后续分析计算并对比，进而确定较为合理的城市轨道交通疲劳荷载模型。

2.3 动力系数

列车作用通过荷载图式的静力作用乘以动力系数来表示。铁路桥涵设计规范(TB 10002―2017)规定高速铁路和城际铁路桥梁结构动力系数应按照式(9)计算[18]：

图3 疲劳荷载模型Fig.3 Fatigue load models

式中，L为影响线临界长度。影响线临界长度小于3.61 m时，应取3.61 m，此时动力系数为1.67。采用式(9)计算城市轨道交通钢桥的损伤等效冲击系数，与EN 1991―2中基于疲劳荷载模型LM71的损伤等效冲击系数φ2取值一致。

考虑设计使用年限内桥梁结构的平均效应，单列列车通过城市轨道交通钢桥的动力系数应进行折减。根据 BS EN1991―2，实际运营列车的动力系数fat应按式(10)计算[6]：

式中：

当L≤20m时，

当L≥20m时，

式中，v为列车最大容许速度。

3 损伤等效系数求解分析及计算

3.1 损伤等效系数求解分析

Eurocode中每种列车编组均规定唯一对应的列车最大容许速度。城市轨道交通中不同运营要求下的列车最大容许速度差异显著，直接应用Eurocode中的损伤等效系数法与实际状况存在出入。且在实际运营中，同一类型的列车编组在不同的线路中也存在不同的最大容许速度。因此，应当考虑动力系数fat的影响，单独地引入损伤等效系数λv表征列车最大容许速度v对疲劳损伤的影响。

考虑损伤等效系数λv，式(3)修正为：

同式(3)相比，式(15)能满足城市轨道交通不同运营条件下所要求的列车最大容许速度，适应于不同限速要求的城市轨道交通系统。

为求损伤等效系数，式(2)变换得到式(16)：

根据不同应力循环应力幅的大小，选取对应的m进行计算，理论上损伤等效系数可以通过双斜率S-N曲线合理求得。实际上，在采用式(16)计算损伤等效系数时，由于桥梁截面特性无法确定，而采用弯矩和剪力等内力进行代替[9]。这使得m取值无法合理确定，常用的做法是采用单斜率的S-N曲线求解[10,13]。

根据S-N曲线和Miner线性累积损伤理论，轨道交通钢桥的总疲劳损伤可由各级应力幅及对应循环次数计算得到，为方便验证，将总疲劳损伤用各级应力幅中的最大值 Δσmax和对应总损伤换算得到的循环次数nmax表示。此时，采用单斜率的S-N曲线时，等效应力幅可由式(17)求得：

式中：Δσmax为设计使用年限内一列车通过城市轨道交通钢桥时疲劳细节的最大应力幅值；nmax为设计使用年限内造成的总损伤按最大应力幅换算得到的循环次数。

以疲劳细节等级为100 MPaS-N曲线为例，对于的区域(疲劳截止限以上区域)，分析m取值对损伤等效系数求解的影响，如图4所示。

图4 不同求解方法下疲劳验算结果分析Fig.4 Fatigue verification analysis using different solving methods

当应力循环(nmax，Δσmax)位于区域I时，实际疲劳情况为不发生疲劳破坏。按照m=3计算，等效应力幅为可计算得到等效后的损伤等效后疲劳验算结果为疲劳破坏，等效后疲劳验算结果与实际疲劳情况不一致。同理，除区域I以外，其余区域按照m=3计算疲劳验算结果一致。按照m=5分析，可以得到：当应力循环(nmax，Δσmax)位于区域II或区域III时，疲劳验算结果与实际疲劳情况不一致；区域II、区域 III以外的区域内，等效后疲劳验算结果与实际疲劳情况一致。即，nmax＞5×106时，无论按照m=3或者m=5计算，实际疲劳情况与等效后疲劳验算结果均可能存在不一致的情况。因此有必要提出一种在交通量大于5×106次也能合理进行验算的求解方法。

根据 2016年度城市轨道交通统计数据[19]，按照100年设计年限进行考虑，已统计的26个城市中，有 25个城市的平均单条运营线路的总交通量(运营线路在设计使用年限内的平均总交通量)大于500万次。为合理地进行疲劳验算评估，提出一种采用双斜率S-N曲线的简化算法：将设计使用年限内造成的总损伤先按m=5段S-N曲线换算为500万次作用下的应力幅值，再按m=3段S-N曲线求得200万次对应的等效应力幅。采用双斜率的S-N曲线时，等效应力幅可由式(18)求得：

根据式(18)对等效后疲劳损伤和实际疲劳损伤进行对比分析。记实际疲劳损伤值为DR，等效后疲劳损伤值为DE2。计算可知：当应力循环(nmax，Δσmax)位 于 虚 线 ΔσD＝7 3.3MPa 以 下 时 ，等效后疲劳验算结果与实际疲劳情况结果一致。当应力循环(nmax， Δσmax)位于虚线ΔσD＝7 3.3MPa 以上时，仅当位于区域III和IV时，DR＜1，而DE2＞1，出现等效后计算结果与实际疲劳情况不一致的情况，等效后疲劳验算结果偏于保守；位于虚线ΔσD＝7 3.3MPa 以上并在III和IV以外区域时，计算结果与实际疲劳情况结果一致。

采用双斜率S-N的简化算法，对于设计使用年限内平均每条运营线路的总交通量大于500万次的25个城市，nmax＞5×106，能合理进行验算；剩余一个总交通量为414万次城市，不会出现评估结果偏不安全的情况。

考虑到城市轨道交通将日益发展，采用双斜率S-N曲线简化算法求得的损伤等效系数，能相对客观、合理地对中国轨道交通钢桥进行疲劳验算。

3.2 损伤等效系数计算

1)损伤等效系数λ1

λ1是考虑影响线临界长度的损伤效应系数，与影响线临界长度的取值有关。根据式(16)：当设计使用年限内总交通量取合理值时，λ2值为1；当以100年为设计年限作为疲劳寿命设计基准时，λ3值为1；当目标桥梁为单线轨道作用时，λ4值为1；当列车最大容许速度取合理值时，λv值为1；满足以上条件时，λ＝λ1，可由式(16)求得的λ值即为损伤等效系数λ1。以λ2、λ3、λ4和λv同时取1的条件为基准条件，在此条件下分别计算基于ZC、ZK和LM71这3种疲劳荷载模型作用下的损伤等效系数λ1取值。基于3种疲劳荷载模型，不同影响线临界长度对损伤等效系数λ1的影响如图5所示。

由图5可知：损伤等效系数λ1随着影响线临界长度的增加呈现先快速下降后小幅度上升而后逐渐稳定并缓慢下降的趋势；损伤等效系数λ1在30 m内快速降低，30 m~50 m之间λ1小幅度上升，50 m~150 m之间λ1保持平稳，150 m~200 m之间λ1缓慢下降；不同列车编组由于轴重、轴距和列车节数不同而导致变化区间有所差异。

图5 基于3种疲劳荷载模型的λ1值Fig.5 λ1based on three fatigue load models

如图6，对比A类列车编组按3种荷载模型计算得到的λ1值可知：同一列车编组采用不同疲劳荷载模型计算得到的损伤等效系数λ1基本趋势不变，但由于ZC、ZK和LM71 3种荷载图式对应的荷载差异较大，导致3种图式对应的λ1曲线区分明显；相同影响线临界长度下，基于ZC、ZK和LM71这3种疲劳荷载模型的损伤等效系数λ1值大小依次递减；影响线临界长度小于单节列车长度时，因为构成A6和A8列车编组的单节列车相同，A6和A8列车编组损伤等效系数λ1相等，B类和C类列车编组可以得到相同结论。

图6 A类列车编组基于3种疲劳荷载模型的λ1值Fig.6 λ1of traffic Type A based on three fatigue load models

由图6可知，3种疲劳荷载模型均能体现损伤等效系数λ1随影响线临界长度的变化规律。3组曲线在钢桥常用跨径范围内，基于ZC疲劳荷载模型对应损伤等效系数λ1在相对较长的影响线临界长度范围内取值更接近 1，且 A6、A8、B6、B8、C4和 C6这 6种列车编组换算为均布荷载最大值为28.1 kN/m，表明采用 ZC疲劳荷载模型进行加载得到的等效应力幅和参考应力幅取值接近，即ZC图式最接近6种列车编组。因此ZC图式在3种荷载图式中能够较好地作为 6种列车编组的疲劳荷载模型。表1给出了ZC图式作为疲劳荷载模型时λ1取值。

2)损伤等效系数λ2和λ3

λ2为考虑年交通量的系数。由式(15)和式(16)可知采用双斜率S-N曲线计算等效应力幅时，可推得而年交通量所以因此可推得λ2计算式：

式中：vol为实际年交通量；vold为基准年交通量。

表1 基于ZC疲劳荷载模型的损伤等效系数λ1Table 1 Damage equivalent factorλ1based on ZC load model

λ3为考虑桥梁设计使用年限的系数。由式(15)和式(16)可知由于而设计使用年限所以以100年的设计使用年限作为基准，λ3计算式为：

式中，voltol为设计使用年限内总的交通量。

3)损伤等效系数λ4

λ4为当结构构件受多于1个轨道作用时采用的系数，本文仅研究单轨道作用时的损伤系数，此时λ4=1。

4)损伤等效系数λv

λv为考虑列车最大容许速度的系数，以列车最大容许速度80 km/h为基准，可以得到式(22)：

式中，fat,v为一定影响线临界长度下列车最大容许速度为v时的运营列车的动力系数。fat,v根据式(10)~式(14)求得。

当列车最大容许速度为80 km/h时，λv＝80＝1。选取40 km/h~120 km/h，间隔为10 km/h速度值对λv进行计算，如图7所示。由图7可知：速度越大，损伤等效系数λv越大；λv-v关系随着影响线临界长度改变而改变，随着影响线临界长度增加，λv逐渐向1靠近。

图7 λv-L关系曲线Fig.7 λv-Lcurves

图7给出的λv-L关系曲线是根据Eurocode中运营列车动力系数fat计算公式推算得到。在缺少动力系数实测数据时，损伤等效系数λv可采用图7计算结果。当有实测数据时，应以实测数据为准。

4 结论

针对中国城市轨道交通钢桥抗疲劳设计的技术需求，基于EN 1993―1―9中双斜率S-N曲线和损伤等效系数法，考虑中国城市轨道交通列车编组、交通量、列车最大容许速度及现行铁路规范列车荷载图式，求得适用于中国城市轨道交通钢桥损伤等效系数。主要结论如下：

(1)考虑到城市轨道交通实际交通量分布情况，采用双斜率S-N曲线简化算法，对比单斜率S-N曲线求解结果，对等效后疲劳验算结果与实际疲劳情况是否一致进行分析，结果表明采用双斜率S-N曲线的简化算法能较合理地进行疲劳验算。

(2)对比ZC、ZK、LM71这3种荷载图式作为城市轨道交通疲劳荷载模型的计算结果，ZC图式能较好地作为6种列车编组的疲劳荷载模型。

(3)考虑列车最大容许速度v对疲劳损伤的影响，提出损伤等效系数λv，并给出计算公式，该损伤等效系数法能够应用于不同最大容许速度的中国城市轨道交通钢桥。