探究概率论与数理统计课程与数学建模思想的融合

陆光洲

（百色学院，广西 百色 533000）

数学建模指的是基于数学基础知识，以抽象性的思维和工具为依托，将基础知识转变为模型的一种方法。数学建模通常被应用在对研究对象进行假设的过程中，是一种提前检验论证结果，以实现针对性的过程调适的数学工具。数学建模的独特作用在于，其所呈现的是实际问题的本质描绘，可以很好的帮助人们转换问题的呈现方式，促进人们对不同的知识结构进行认知和了解。《概率论与数理统计》这门课程主讲概率学和统计学，是高校必修的基础课程。该课程中包含的计量经济学、时间序列等知识点，在各个行业中都有着较强的应用价值。但其内容却多以复杂的理论为主，难以理解且与实际应用相对脱节。因此大学生在学习《概率论与数理统计》课程时，常常会表示所学内容过于枯燥，且实用性较差。对此，为令《概率论与数理统计》课程可以更易被学生理解和吸收，教师或可以运用数学建模思想，在课堂中有效应用数学建模的优势功效促进学生学习。

一、概率论与数理统计课程中融合数学建模思想的必要性与可行性

1、融合的必要性

“数学”存在的目的是，通过数据、图像等形式解释某个原理的本质。理论上，数学可以解释所有在现实生活中出现的，被人们所定义的问题。而数学学科就是通过阶段性的教学，逐渐培育人们掌握“解码”这个世界的方法。也因此，随着学年的增长，学生所面对的数学这一基础知识课程的难度越大、内容原理越复杂。《概率论与数理统计》就是高等院校理工、经管类专业的重要基础课程，更是考研阶段的重点学习内容。该课程属于近代数学，发展性和应用性较强。内容包括统计学和概率学，而这两个知识体系的应用方向极广，包含工业、农业、科学乃至军事行业。在现代科学技术的开发中更是发挥着十分重要的推动作用。因此，在高等教育阶段中，《概率论与数理统计》课程的重要性不言而喻。《概率论与数理统计》课程中，教师不但要传递概率学和统计学的原理知识，更要帮助学生建构观测试验、理性思虑的学识技能。其中包含着大量的数学方法，需要学生了解、熟练掌握并融会贯通。如果教学方法不能激发学生们的学习主动性，或者在有限的教育教学时间内，学生无法充分吸收知识点，学生们便无法建构实际有效的知识结构。

调查《概率论与数理统计》课程教学质量较低的原因可知，绝大多数教学质量的低迷都是因为教师未能选择一种便于理解的教学方法进行教授。数学科目本身就相对枯燥，概率学和统计学又涉及到巨量的数据信息，学生在未能建立清晰思路之时，会本能的对巨量数据的处理产生焦躁心态。继而影响其参与学习的心态，降低课堂学习的质量。而数学建模思想是一种根据实际问题去建立数学模型，再通过模型求解帮助人们解决问题的“思考工具”。在《概率论与数理统计》课程中使用数学建模技术，明显可以将繁冗的数据立体化、现实化处理。也就是说，通过数学建模技术可以将数据转换成实际的问题，令学生们可以在认知实际问题、解决实际问题的过程中，了解处理问题的概率学、统计学方法，更能够在处理实际问题的过程中，有效将理论原理与现实应用结合，真正做到“融会贯通”。而这种将问题具体化、立体化的技术，是独属于数学建模思想的特殊优势。故而，考虑到《概率论与数理统计》课程的重要性，和促进学生通彻理解知识点的急迫性，在《概率论与数理统计》课程中融合数学建模思想，明显具有较强的必要性。

2、融合的可行性

对可行性的论证可以从两个角度去分析。首先是原理的角度，《概率论与数理统计》课程的主要教育内容，就是将生活中的问题量化处理，再通过实际的样本数据去推算和检验，直至得出具有代表性的验证结果。数学建模思想强调要先了解对象信息，做出简化的假设，再分析内在规律，并利用符号或语言来建立模型。“先量化具体问题”，“再抽取样本去检验”的这两个重要构成，明显与数学建模的基本原理相差无几。这说明，一方面教师在《概率论与数理统计》课程中应用数学建模思想，几乎不用考虑适用性的问题。另一方面则说明教师无需大幅度改良《概率论与数理统计》课程本身的教育结构，这可以有效减少课程创新建设的资源输出，对于校方和院系而言具有较强的正面意义。

其次是条件的考虑，条件分为实物和非实物两类。实物条件指的是可以支撑数学建模技术在《概率论与数理统计》课程中应用的技术条件，例如智慧教室、计算机工具等等。而当前我国高校基本已经完成了现代化教育转型，每个院校内都会配置计算机设备完善、互联网条件完备的现代教学课堂。因此，将《概率论与数理统计》课程与数学建模思想融合，在实物条件上讲具有较强的可行性。非实物条件指的是教师的操作能力。一般而言理工、经管类的专业都不会特别开通数学建模相关的课程，但若要应用数学建模，教师需要具有完善和熟练的操作能力。而相关专业内的教师，大多对数学建模技术有着深刻的认知和了解，系统性学习后便可以熟练运用相关软件开展教学。因此，从原理和条件两个角度去论证，最终都会得到一个结果，那就是在《概率论与数理统计》课程中融合数学建模思想，具有较强的可行性。且无需大幅度改变《概率论与数理统计》课程本身的技术面貌，从实用性的角度看更加适应高校的改革能力，可行性进一步强化。

二、概率论与数理统计课程中融合数学建模思想的条件预备

1、升级专业课教师的数学建模能力

虽然在《概率论与数理统计》课程中融合数学建模思想的终极目标，是促进学生的理解，帮助学生建构发现问题和解决问题的思路。但实际上只有当教师对课业内容产生全面、立体的理解时，学生才能更加轻松和有效的理解知识点内涵。因此，要将《概率论与数理统计》课程与数学建模思想融合，最应该做好的条件预备，就是要保证教师的操作能力。校方可以要求专业课教师们积极参与数学建模座谈会、讲座，及时了解数学建模思想的更新内容，保证不与时代脱节。教师们更要积极以线上学习、远程学习等方式为主，在课余时间内充实自身的数学建模相关知识储备，了解各种数学符号、数学公式、程序、图形的组合应用技巧。同时，教师们在自我提升期间，也要以模拟仿真的形式，去探索如何将数学建模思想有效融合在统计学、概率学知识的讲解过程中。要根据不同的知识点，将应用思路分解为风险评估、水平评测、质量管控评测等类别，不断设立和完善对应的融合思路。该行为的根本目的在于，通过大量的模拟实验，帮助教师们掌握有效应用数学建模的合理方法。以避免出现教学内容与数学建模思想不相容所导致的知识屏障问题。当教师熟练掌握将概率、统计等思想以数学建模的方式去解决的知识技能后，教师们可以积极参与数学建模的专业比赛，以赛促学在赛事中认知自身能力的长处和短板，学习和吸收其他选手的优势技术。

2、更新教学工具与教学方法

良好的工具和方法，是保障教学成效的关键。《概率论与数理统计》课程教师需要结合自己在学习阶段的认知和积累，结合教学的技术性、内容性需要，为校方提供设施建设的清单。清单内包括软硬件建设的方向、内容，校方需要根据《概率论与数理统计》课程教师给出的意见进行建设，从而为融合教学提供良好的资源辅助。例如，校方需要根据学生的数量和课时的安排，布设好数量足够的计算机设备和教室资源，以供学生在课上随时进行建模。校方也需要购买Mathematica、spss 等数据分析类、建模类的正版软件供教师和学生使用。教师则需要提前熟悉这些软件的操作方法，并构设出基本的使用教程交给学生，要求学生们提前对这些软件进行熟悉。而为了在课程中充分发挥出数学建模的优势作用，建议教师以“应用数学建模思想”作为前提，提前进行教学方法改造的培训。例如，对方差的概念、参数的估计等内容，都使用数学建模进行讲解。令学生熟悉以数学建模为主的学习思路，进而以“熟悉”作为推动，提升整个课堂从知识讲解到知识吸收的效率。

三、概率论与数理统计课程中融合数学建模思想的融合路径研究

1、随机问题的融合教学

随机问题的解决是概率论中最常见的知识点，但传统的理论教学重视对概念的传递。虽然随机变量、分布函数相关的概念可应用性较强，但在不列举实例的情况下，学生很难建构对该知识点的应用思路。针对此，教师可以先要求学生熟练掌握分布函数的几种经典形态，例如均匀分布的实验原型、现实事件中随机变量的服从规律、分布形态之间的关联关系等等。掌握这些经典的形态构成，是为了令学生明确现实事件的本质规律。在明确规律的前提下利用数学建模搭建理论与现实的桥梁，便可以令学生迅速建立对知识点的现实应用思路。以均匀分布为例，在教学的前期教师可以围绕均匀分布的关联关系进行充分的教学，并留给学生足够的时间进行讨论，直至明确知识点相关的所有机理。随后，教师可以设立一个数学建模的题目，先要求学生想出该问题中应该设立哪些随机变量，这些变量又应该设立怎样的服从机制等等。随后教师要不断引导学生沿着建模的基本步骤去思考，完成对优先级的比例调节、优先级在队列中的调整、检测安排方式的合理性、对优先级模型的建构。再进行自适应区间内自适应方法的周期性模拟，非FCFS 策略的评价和线性规划简化模型等等。教师在台上需要利用计算机和相关软件一步步完成对模型的建构，最后与学生一同代入在线数据，实现对模型的仿真模拟。这种情况下，虽然模型的建构由教师作为主导，但过程中学生们可以不断结合现实背景进行思考和推测，有效锻炼自身对于随机问题的处理逻辑。

2、稀有事件预估的融合教学

如何用分布区描述实际的随机变量，是《概率论与数理统计》课程的另一个教学难点。学生们在面对该知识点时，最大的意见就是自己无法对稀有事件进行有效的把控。针对此，教师也可以使用数学建模思想，利用检验验证的方式去验证学生的想法，从而令学生能够在一次次验证的过程中，掌握随机变量描述的有效方法。在随机变量描述中应用数学建模技术可以分为三个步骤进行。第一，教师需要“协同”学生一起对定理条件进行分析，令学生明确不同概率应该服从哪一种分布形式。例如如果是稀有事件这类小概率问题，那么便应该服从泊松定理。第二，教师可以结合一个现实中的小概率案例，要求学生自行利用数学建模软件完成对假定理论的验证。例如，广告产业内运算点击率往往就是一个小概率命题，很多内容的点击率都是千分位。那么以该案例为主，学生们可以构设一个稀有事件的逻辑回归模型，去解决点击率预估的稀有事件问题。第三，考虑到逻辑回归模型在样本不均衡条件下，可能会出现估计偏差的问题。教师可以引导学生对模型进行进一步的校准，在进一步精化评估结果的同时，帮助学生建立辩证性的学习思路。例如可以使用“Prior Correction”策略，基于先验分布的规律，使用公式进行校准。其中，是负采样得出的模型参数，是负采样后的正样本比例，而是负采样前的正样本比例。如果只是对定向投放的广告点击率预估进行计算，那么也可以被统计的“点击通过率”，也就是广告的实际点击次数所替代，也就是广告的实际点击次数除以广告的展现量。这一步的重点是，要求学生正视数学建模思想的“帮扶”作用，不要将建模作为依赖性的学习方案。

3、使用频率对概率进行预估

也是《概率论与数理统计》课程中的重点内容。但频率也是一种随机变量，学生们只有在结合实际案例的前提下，才能将众多的随机变量处理方法加以区分和灵活应用。基于此，教师可以使用蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo method），也就是俗称的统计模拟方法去解决预估问题。但该方法的使用存在一定限制性，那就是该方法适用于解决难以用数值去处理的部分。例如，该方法通常会被使用于项目风险评估以及决策的过程中。教师会设定一个虚拟的项目，并为学生提供AB两个方案。学生需要对这两个方案进行整理调查，罗列出可能的风险变量，再确认不同变量的概率分布以及相应函数中的具体参数。随后，应设立一个财务净现值的计算模型，对该项目的基准折现率和生命周期进行预估，在设定95%的置信度后进行多次模拟。最后则要根据评估的最终结果，对比两个方案的期望值、风险度，风险度较低的方案予以采用。过程中，学生将科学的预估出风险发生的概率，明确如何利用数据和建模技术得出相对科学的决策依据。从整体上看，在《概率论与数理统计》课程中融合数学建模思想，不但未能对教学造成障碍，更提升了理论教学的立体性、生动性，令学生们能够在学习理论课程的过程中，便体验到真实的工作内容与情境。这明显可以升级《概率论与数理统计》课程的教育成效，令其从枯燥、无趣的课程转变为可以夯实学生理论所得的趣味课程。

结语：

《概率论与数理统计》的改革是一个难度较高又十分复杂的过程。而数学建模思想的应用，可以将《概率论与数理统计》课程的信息传输以立体化的方式呈现，从而充分匹配大学生对立体化知识传输更加认同的兴趣爱好，有效提升课程的可接受性和易理解性。