基于正弦激励的压电加速度计模型参数辨识

鲁 敏, 胡红波

(1. 北京遥测技术研究所, 北京 100086; 2. 中国计量科学研究院, 北京 100029)

1 引 言

加速度计通常用于瞬态机械量的测量,其性能好坏决定测量结果是否准确可靠。目前压电加速度计的校准,主要采用的是振动与冲击激励的校准方式[1～3]。对于振动校准,得到的结果是单一频率下加速度计的复灵敏度,实际测量中的振动量很少是单频纯正弦的运动;对于冲击校准,采用的是一个确定时域形状的冲击激励,实际测试过程中的机械冲击量很难与校准所采用的冲击波形完全一致。如当被测的机械振动量是几个频率合成的一个复合机械振动时,无法根据加速度计校准结果准确设置相应的参数,所以常规的校准方法得到的结果不能完全满足高精度的动态测量的要求。

目前对加速度计的校准方法,都属于对加速度计经验传递函数(ETFE),即非参数的传递函数的估计,并且依据GUM不确定度评估框架对测量过程进行评估,该方法不能实现加速度计对任意激励信号输出的预测[4]。GUM准则主要是规定了对稳态量、常量等分析评估的过程,且其中对测量系统的评估,也没有采用微分或者差分方程、时延或者时间相关和失真等指标。在实际的动态测量过程中,由于测量系统不理想的动态特性产生的动态误差有时会大于由于测量不确定度而引入误差[5]。为满足动态量测量对加速度计的要求,必须完整地确定加速度计的输入输出关系。这些内容实际是测量系统动力学相关的内容[6,7]。文献[8～10]实现了加速度计在不同激励条件下动态特性校准相关的内容。

考虑到目前激光绝对法振动校准加速度计具有高的测量不确定度指标,本文对加速度计采用一个线性二阶微分方程表征其动态特性,利用绝对法振动校准的频率响应数据对模型参数采用加权最小二乘算法直接进行了拟合,并利用蒙特卡罗法计算得到了参数的不确定度,这样直接对模型拟合避免了对数学模型的离散化要求,最后对得到的参数模型进行了χ2检验。另外,为了验证模型对瞬态信号输出的预测,比较模型在冲击激励下的预测输出与实际加速度计的输出,进一步验证了模型的可靠性。

2 加速度计的数学模型与模型参数辨识方法

2.1 加速度计的数学模型

为了利用试验所得的数据对物理过程进行分析,首先就是要建立对应的数学模型。工程实践中通常采用式(1)所示的LTI系统来描述其物理过程输入输出对应的关系。

(1)

式中:x(t)为输入量,即被测量;y(t)为输出量;n,m为模型的阶次,且一般情况下n≥m;对于本文研究的对象加速度计而言,ai(i=0,1,2,…,n)与bj(j=0,1,2,…,m)是由加速度计的测试原理、结构等确定的描述。

根据压电加速度计结构原理和实际校准加速度计校准的频率响应结果[11,12],工程上一般采用二阶微分方程的数学模型来描述加速度计动态特性,式(1)中模型的阶次i=2,j=0,即得如式(2)所示加速度计数学模型。

(2)

(3)

将s=jω代入式(3),可得加速度计的频率响应:

G(jω)=G(ω)exp[jφ(ω)]

式中:G(ω)为加速度计的幅频响应;φ(ω)为加速度计相频响应。选择合适的频率点ω1,ω2,…,ωN,利用振动校准可得到加速度计在对应频率点的幅频及相频响应数据。需要说明的是,加速度计校准的结果必须剔除掉配套适调器频率响应的数据。

另外,对于同一研究对象可能有不同的数学模型,三阶或者更高的数学模型也能用来表示加速度计的动态特性[13],但二阶系统模型可靠、鲁棒性强、参数少且物理意义明确,工程实践中应用较多。

2.2 模型参数辨识的方法

为了对式(3)所示的加速度计传递函数参数进行辨识,就要确定加速度计在一定频率范围内的幅频及相频响应,这样就能直接利用所得到的数据对式(3)进行拟合,从而确定参数的值。为了能够对参数进行线性的拟合,对式(3)所示的频率响应进行转换,即取传递函数的倒数作为曲线拟合的模型:

H(jω)=G-1(jω)=G-1(ω)exp[-jφ(ω)]=

μ1+μ22jω-μ3ω2=fT(ω)μ

(4)

(5)

绝对法振动校准加速度计的方法目前已经非常成熟,相关的校准结果及对应的测量不确定度通过国际比对等方式也得到了确认[14]。假定在选定的频率点ωT=[ω1,ω2,…,ωL]处,经过激光绝对法振动校准得到加速度计相应的幅频响应结果为G(ω)=[G1,G2,…,GL],对应的标准不确定度为u(ω)=[u1,u2,…,u3];相频响应结果为φ(ω)=[φ1,φ2,…,φL],对应的标准不确定度为ν(ω)=[ν1,ν2,…,ν3]。则构造数据向量:

(6)

数据向量y是一个长度为2L的列向量。对于数据向量y的协方差矩阵Vy,这里采用蒙特卡罗法来确定。一般来说,在没有其他明确校准结果分布的条件下,都认为校准结果为正态分布,此时正态分布的均值参数即为校准结果,标准方差即为标准不确定度,并且假定幅频校准结果与相频校准结果相互独立,按式(7)即可生成相应的随机数。

(7)

式中:i=1,2,…,L,k=1,2,…,N为生成的数据;ξ,ζ分别为标准正态分布的随机变量。一般可以取N=106,由此即可确定数据向量y的协方差矩阵Vy。

根据所选择的频率点,构造输入数据矩阵:

(8)

输入数据矩阵为一个2L×3的矩阵。依据加权最小二乘算法的计算公式,即可得到所求的参数的最佳估计值为:

(9)

(10)

为了验证模型的拟合度进行检验,本文采用χ2检验来按式(11)来进行验证。

(11)

式中:ν=2L-3为χ2分布的自由度;p为确定的置信概率,一般取p=0.05。

3 加速度计特性参数校准结果

在绝对法振动台校准系统上,采用外差式激光干涉仪,对选定的加速度计利用正弦逼近法对其进行校准,校准的结构简图如图1所示。

图1 绝对法振动校准简图Fig.1 Block diagram of primary vibration calibration

在频率范围160 Hz～18 kHz范围内,加速度计幅频响应和相频响应以及相应的不确定度(k=2)如表1所示。

表1 加速度计频率响应校准结果Tab.1 Calibration results of accelerometer’s frquency response

利用绝对法振动,对加速度计在设定的频率范围进行5次校准,然后按照前述的参数辨识方法,利用5次校准的结果,辨识计算得到加速度计数学模型的动态特性参数如表2所示。振动校准加速度计所得的频率响应数据与模型计算得到频率响应比较如图2所示。

表2 校准动态特性参数的结果Tab.2 Results of parameters for dynamic characteristics

图2 实际校准与模型计算结果的比较Fig.2 Comparison between calibration results and obtained model

4 模型对瞬态激励信号的输出预测

为了预测模型在瞬态信号激励条件下的输出,同时也验证模型的准确性,比较加速度计和模型在同一机械冲击激励条件下的输出。对于选型的加速度计,在设定的冲击条件下进行绝对法冲击校准,冲击波形如图3所示。同时得到激光干涉仪测量的冲击加速度物理量信号,作为加速度计数学模型的激励信号。

图3 校准加速度计所使用冲击加速度波形Fig.3 Applied shock pulse for acceleration’s calibration

为了计算模型对瞬态激励条件下的输出,对式(1)所示的连续系统模型采用双线性变换法进行离散化[15],离散化的频率为实际冲击加速度校准过程中的采样率fs,则采样间隔Ts=1/fs。为了保证差分方程在加速度计工作频带范围内能够足够好的近似微分方程,必须确保采样率大于加速度计工作带宽10倍以上。将式(3)中拉普拉斯算子s按式(12)替换为z变换因子。

(12)

可得离散形式的传递函数为:

(13)

为了对式(13)所示的离散传递函数仿真,将其转化为差分方差的形式如式(14)所示。

y(k)+c1y(k-1)+c2y(k-2)=

b1a(k-1)+b2a(k-2)

(14)

式(14)系数可由辨识得到的连续模型参数转换得到。在冲击加速度峰值50g～500g范围内对加速度计进行5次冲击校准,并计算相应的冲击灵敏度。同时将激光干涉仪测量得到的冲击加速度物理量信号用于式(14)所示的差分方差模型的输入,计算其输出并计算得到模型的冲击灵敏度。两者结果如下图4所示。

图4 冲击加速度校准结果与模型计算结果比较Fig.4 Comparison between calibration results and obtained model

从图4所示的加速度计实际冲击校准的结果与模型计算的结果可以看出,在所选择的冲击加速度峰值试验条件下,两者的差别基本都小于1%,进一步证实了在所选择的频段范围内,二阶模型能够准确的表征加速度计动态特性,模型能够准确地预测瞬态激励条件下加速度计的输出。对于模型计算结果的不确定度,同上采用蒙特卡罗法计算。首先依据连续模型的参数及相应的不确定度,生成相应的参数随机变量,并对其离散化,得到一组差分方差的模型并计算其输出,最后根据输出计算模型的冲击灵敏度。重复上述过程多次后,即可得到模型冲击灵敏度的不确定度。

5 小 结

本文采用线性二阶模型描述加速度计动态特性,模型结构简单且参数物理意义明确。为了确定模型的参数,采用具有最高测量不确定度水平的绝对法振动对加速度计在一定的频段范围内进行了校准,结合校准所得加速度计频率响应数据和不确定度,利用最小二乘算法计算得到了模型的参数,同时采用Monte Carlo法计算得到了模型参数的不确定度。为了验证所得模型的可靠性,采用瞬态冲击加速度激励的方式对加速度计进行冲击校准,并与模型计算得到的结果进行了比较,一致的结果证明了模型的可靠性。本文所述的方法有下面几点需要注意:1) 压电加速度计阻尼系数一般较低,为了保证阻尼系数辨识结果的准确性,在选择加速度计校准频率范围时,校准频率上限需保证加速度计灵敏度至少有10%的变化量。2) 由于加速度计是和适调器是配套进行校准的,适调器的频率响应数据在辨识参数前必须准确剔除,否则会对加速度计阻尼系数有较大影响。3)χ2检验只是用来验证模型与数据拟合的信息,选择实际加速度计的输出与模型预测输出的比较是一个较好的方式。