线性代数课程中“初等矩阵”的教学设计与思考

摘  要：线性代数作为高等学校理工科专业的公共基础课，与高等数学相比，线性代数的内容更加抽象，对学生的计算能力要求较高。目前在课堂教学中教师侧重公式的推导、定理的证明，缺乏实用性。因此，教师应结合背景知识及现代信息技术，激发学生的学习兴趣，培养学生的分析问题、解决问题的能力，为进一步学习后续课程以及在经济工作中解决一些实际问题打下坚实的理论基础。

关键词：线性代数  基本初等矩阵  Matlab

中图分类号：G642                             文献标识码：A                    文章编号：1674-098X（2020）10（b）-0185-03

Abstract： Linear algebra is a public basic course for science and engineering students in the institution of higher education， compared with advanced mathematics， its content is more abstract， which requires higher computing ability of students. At present， teachers mainly focus on the derivation of formulas and the proof of theorems， which is lack of practicability. Hence， teachers should combine background knowledge and modern information technology to stimulate students' interest in learning and cultivate their ability to analyze and solve problems， which lay a solid theoretical foundation for the follow-up courses and solving some practical problems in economic work.

Key Words： Linear algebra; Basic elementary matrix; Matlab

在日常办公中，我们经常将图像进行旋转、放缩等几何变换，那么在计算机图像处理中，它是如何实现图像的几何变换呢？图像变换的理论基础是什么呢？众所周知，图像在计算机中以像素矩阵存储，对图像做几何变换，其实就是对图像的坐标进行变换得到的。前面我们学习了矩阵的三种初等变换，它与三类初等矩阵一一对应。那么对图像做几何变换，相当于图像矩阵乘上初等矩阵得到的。这就是我们今天要学习的初等矩阵及其几何意义。

引入的设计意图：通过图像的几何变换，让学生从直观上理解初等矩阵的几何意义，将矩阵视为一种几何变换，赋予矩阵一种直观意义，将陌生转化为熟悉，降低学生的理解难度。

1  初等矩阵的定义

定义1：单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

首先指出被变换的对象是单位矩阵，方法是只经过一次初等变换。

例1：判定下列矩阵是为初等矩阵？

例1 的设计意图：例1是对初等矩阵概念的理解，初等矩阵是对单位矩阵经过一次初等变换得到的，矩阵A显然是符合定义的。而矩阵B至少对单位矩阵经过两次初等变换得到，因此，矩阵B不是初等矩阵。由此题得到三种初等变换对应着三类初等矩阵，为后续内容作铺垫，起到承上启下的作用。

2  三类初等矩阵

第一类初等矩阵：交换单位矩阵的两行 （列），记为。

第二类初等矩阵： 将单位矩阵某行 （列） 乘上k 倍，记为。

第三类初等矩阵：将单位矩阵某行 （列） 的 k 倍加到另一行（列）上，记为。

例2：设方阵，若在方阵A的左边乘上R23，那么会得到哪个矩阵？与矩阵A的关系是什么？

例2的设计意图：根据矩阵的左行右列法，在方阵A的左边乘上一个交换2、3两行的初等矩阵，得到的新矩阵。通过特殊例子的引入，启发学生猜想初等矩阵和初等变换的关系，并运用分块矩阵理论验证猜想的正确性，从而得到初等矩阵的作用：若A是一个m×n阶矩阵，对A实施初等行变换，相当于在A的左边乘上相应的阶的初等矩阵;对A实施初等列变换，相当于在A的右边乘上相应的阶的初等矩阵。

3  初等矩阵的几何意义

设计意图：与教材相比较，教学过程中增加了几何意义部分，通过（1）式可以得到，第一类初等矩阵的几何意义是关于某一“标准轴”的对称变换：通过（2）式可以得到，第二类初等矩阵的几何意义是在某一坐标轴方向的伸缩变换;通过（3）式可以得到，第二类初等矩阵的几何意义是在某一坐标轴方向的切变变换。

4  初等矩阵在图像几何变换中的应用

通过第3部分中对初等矩阵几何意义的初探和理解，让学生了解了图像进行几何变换的理论基础，使其变得直观、易于理解。进一步，探究如何运用matlab软件实现对图像进行几何变换，锻炼学生的动手解决问题能力。首先，初等矩阵的几何意义表明：对图像实施第一类型初等变换，可实现对图像进行转置运算（见图1）。借助于Matlab软件中projective2d函数可以很直观地对图像进行几何运算。设置几何变换矩阵为第一类型的初等变换矩阵[0 1 0; 1 0 0;0 0 1]，运行程序如下：

接着，若对图像实施第二种类型的初等变换，可实现对图像进行压缩变换，只需要在（1）式中改变projective2d 定义的变换矩阵为第二类型的初等矩阵即可，即定义H_s=projective2d（[0.5 0 0; 0 1 0;0 0 1]），运行程序可得（见图2）。

进一步，我们对图像实施第三种类型的初等变换，可实现对图像进行切变，需要在（1）式中重新定义H_s=projective2d（[1 0.5 0; 0 1 0; 0 0 1]），运行程序可得（见图3）。

5  结语

在本节的教学过程中，考虑到线性代数课程的抽象性特点，引入初等矩阵的几何意义，有效地激发了学生的兴趣。同时结合现代信息技术：matlab软件等，鍛炼学生的动手解决问题的能力，让学生体验到数学的美。结合背景知识和信息技术的课堂教学模式，不仅能激发学生的兴趣，而且能够提高学生动手解决问题的能力，因此，探索基于现代信息技术的课堂教学改革具有重要的意义，也是当前大学数学该学改革亟待解决的问题。

参考文献

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