多元函数的极值求法及其应用

骆旗

【摘 要】在高等数学的应用研究里面，函数的极值，最大值和最小值时最常见的，尤其是多元函数的极值和最值在日常生活中特别是在经济管理的应用上，函数的极值或最值，发挥着非常大的作用，比如，在企业管理中，我们可以利用函数的极值或最值，为企业管理层做出怎样才能利益最大化提供一定的解答参考，也可为许多制造企业提供如何才能使成本最小化的解答提供重要的参考。不仅仅是企业，在管理上以及在日常生活中，函数极值特别是多元函数的极值都发挥着巨大大的作用。在高等数学中学习多元函数的极值的求法，探讨多元函数的极值的在日常生活中的应用具有非常的现实意义，所以，为此展开这个话题的解释。

【关键词】高等数学、多元函数、极值、最值、经济管理、企业管理。

一.多元函数极值定义：

设函数的定义域为，如果，若存在的某个领域属于，使得对于该邻域内异于的任何点，都有，（）则称函数在点处有最大（小）值，则称为函数的最大（小）值点。

类似可定义多元函数的极值。

显然多元函数的极值定义与一元函数的极值是相类似的，都是对应一个邻域内的一个极大值和极小值。在定义上，他们有很多相似之处，但是对应的，因为二元和一元的函数形式已经改变，所以判断方法和求极值的方法对比一元上有了很多不同的地方。让我们来看看二元函数的极值条件：

（必要条件）：设函数在点有连续偏导数，且在点处有极值，则有。

这个条件对比一元有相似之处，也就是导数都需要为0，但是，它不是全导数，它是两个关于x和y的偏导数，这是多元函数特有的导数。接下来我们看看第二个条件：

（充分条件）：设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，，，则（1）.当时，具有极值，且当时，为极大值，当时，为极小值;（2）. 当时，不是极值;（3）. 当时，可能为极值，也可能不是极值，需要另外讨论。

由上面的必要条件和充分条件，可知多元函数极值和一元函数一样极值，有非常类似的地方，根據上面的条件，我们可以得出了求二元函数求极值的方法：

（1）解方程组，，求得实数解，由此得出驻点;

（2）对于每个驻点，求出对应A，B，C。

（3）根据的符号判断是否为极值，是的话，求出二元函数的极值。

总体来讲，多元函数的极值由一元函数推广而致，所以定义上有许多相似之处，但是多元函数的极值判断，对比一元复杂很多，方法也不同了。

二.多元函数的条件极值

在多元函数的极值问题中，当自变量各自独立且不受任何限制时，通常称这种极值为无

条件极值. 然而在实际生活中，我们所遇到的许多关于极值或最值问题，往往对自变量都有一定的条件来进行约束，我们将这种自变量带有约束条件的极值问题称为条件极值。

比如，在半径为r的圆的所有内接三角形中，求面积A为最大的三角形。我们设表示内接三角形各边所对应的圆心角，则所给问题就转化为求三元目标函数，在满足约束条件下的极值问题，也就是所谓的条件极值问题。

求解条件极值，最直接的想法就是将其转化为无条件极值来处理。比如，对于上述条件极值问题，我们可将约束条件表示为，然后，将其代入目标函数中，得到 ，再求此二元目标函数在有界闭区域上最大值。

然而，只有当约束条件可以表示为显函数形式的条件极值问题，才可以转化为无条件极值问题来求解，但是在实际应用中，许多情况是约束条件为隐函数的形式，通常我们很难将其表示为显函数，因此，我们有必要寻求更为有效的求解条件极值的方法，这就是拉格朗日乘数法它是解决多元函数条件极值的一种常用解法。

以二元函数为例，设函数及在所考虑的区域内具有连续的一阶偏导数，且不同时为零，那么，求目标函数在约束条件下的极值. 具体步骤如下：

第1步 构造函数，称为拉格朗日函数，其中称为拉格朗日乘数。

第2步 建立联立方程组

解出，则就是所求条件极值的可能极值点.

第3步 由实际问题本身的性质，判定点是否为极值点，进而求出极值.

注1：.拉格朗日乘数法对于多元目标函数，以及约束条件是多个的情形也适用，但约束条件的个数要小于目标函数中自变量的个数;

注2：当构造拉格朗日函数时，其中不一定是

目标函数的准确表达式，有时，为了运算简便，可以适当简化，只要简化后的函数与原来的目标函数有相同的极值点与极值即可 .例如目标函数为而约束条件为，条件极值问题，拉格朗日函数可简化为.

注3：拉格朗日乘数前面的“+”号，也可以写成“-”号，此时的值只差一个正负号，并不影响极值的取得.

三.多元函数极值的应用

既然现在我们已经知道了多元函数的极值的含义及其求法了，那么，多元函数的极值又有什么用呢。在经济，工作与日常生活上，函数的极值非常常见，只是我们不常留意。例如企业的库存管理问题。有库存，就会有库存的管理，库存并不是越多越好，期间有非常多的费用要考虑。举个例子：“许多企业为完成他们的生产任务，就需要订购一定量的原材料。然而，在某些条件下的总需求，购买的数量越少，意味着更大的采购量，也意味着少的购买价格。在这个时候保管费用就会相应地增加。与之相反，购买费用越大，保管费用越小。所以就产生了这样一个企业怎样进行确定自己订购批量从而使总费用最少的问题

在这个时候，就涉及到了函数的极值问题，要实现制造企业和销售企业利润的最大化，首先就要用极值去解决库存的问题。每个企业的最大的目的就是要赚更多的钱，但想要赚更多的钱就要有一定的数学知识，赚钱的方法有很多，作为企业的领导者，你需要从这么多方法中找出最优的，利益最大的，这就是最优量问题。“有很多的经济学问题，例如寻求最佳的量的问题。比方说，最大的生产量、最大的利润收益、最小成本、最大纯利润等一系问题，这些我们可以进行很好地运用学习数学中的有关求极值的方法研究加以分析解决。具体可以应用到一些多元函数极值的极值的方法的一元函数极值的求解。

由于篇幅所限，在此，就不举例说明了。】

结术语：

多元函数的极值问题是各种领域上非常常见的问题，虽然常见，但是非常重要。极值问题在许多领域上应用非常广泛，其中最突出的就是经济上的问题。在商业领域上，学会熟练灵活掌握极值问题的解决能力是非常重要的。极值问题，无处不在。

参考文献：

[1]江霞平. 导数在生活中的应用举例[J]. 科技资讯，2013（15）.

[2]罗蕴玲，安建业，程伟.高等数学及其应用，第2版.北京;高等教育出版社.2016

[3]《高等数学》（第七版）上、下册，同济大学数学系编，高等教育出版社

[4]《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社

（作者单位：广州工商学院基础教学部）