地图上的数学猜想

■华兴恒

在印制地图时，为了便于区分，常把相邻的国家或地区印成不同的颜色。当然，如果每个国家或地区各用一种颜色，确实能达到区分的目的，可颜色太多，不仅给地图的印制带来麻烦，而且看上去也不美观。由此产生了这样一个问题：至少需要几种颜色才能将相邻的国家或地区区别开来？

翻开中国地图可以看到，湖北省被陕西、河南、安徽、江西、湖南、重庆六省、市包围，按说需要七种颜色来区别它们，可实际上这七个省、市中由于有好几个没有共同的边界，因此只要四种颜色就可以区分省界。

人们在实践中发现，一张地图上的行政区划不管多么复杂，只需使用四种颜色着色，一般都能保证各省、市公共边界地区为不同的颜色，这就是著名的“地图四色问题”，又叫“四色猜想”。

最早提出“地图四色问题”的是英国人费南西斯·格斯里。1852 年，刚从伦敦大学毕业的格斯里在英格兰的地图上进行了着色实验，结果发现这样一个规律：要使有公共边界的两个区域颜色不同，3 种颜色太少，5种颜色太多，4 种颜色刚好！

格斯里想用数学的方法予以证明，未能如愿。为了寻求答案，他请教了著名数学家德·摩尔根。摩尔根也没有找到解决这个问题的方法，于是他写信向自己的好友——著名数学家哈密尔顿请教。哈密尔顿收到摩尔根的信后，对“四色问题”进行了论证。但直到他逝世，这个问题也没有得到解决。

1878 年，英国数学家凯莱在该国数学学会会刊上发表了一篇文章，将上述问题归纳为“四色猜想”，并通报给伦敦数学学会的会员们，以寻求证明方法。

一年后，一位名为肯普的律师兼数学家试图用反证法证明“四色猜想”。他先假设一张地图至少要用5 种颜色，然后证明结果与假设矛盾，从而说明需要4 种颜色。但11 年后的1890 年，数学家赫伍德指出肯普的证明是错误的，因为他遗漏了一个重要的步骤，而这个步骤的计算量又十分庞大。于是，“四色猜想”变成一个悬而未决的问题。

100 多年来，“四色猜想”成了困扰数学家们的世界难题之一。直到20 世纪中叶，电子计算机的诞生为该问题的求解提供了技术条件和理论可能性。1976 年，美国伊利诺斯大学教授肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯利用高速计算机证明了这个猜想，在数学界产生了深远的影响。

据报道，阿佩尔和哈肯沿着肯普的思路编制了一个严密的计算机程序，对2 000多张不同构型的地图进行模拟计算，用了3 台高速计算机，花费1 200 多个小时才获得成功。

如今，仍有许多数学家继续探究“四色猜想”，毕竟对他们来说，探索的过程比问题本身更加有趣。