基于数学建模视域的炉温曲线优化

唐汝晨 梅阳森 杨东

摘 要：在集成电路板等电子产品生产过程中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本文旨在通过机理模型来进行分析研究。传送带速度固定不变，温度随时间变化始终保持连续，我们需要求出温度随时间变化的函数关系式，然后求出传送带速度。

关键词：炉温曲线; 机理模型

一.问题分析

在传输过程中，传送带的运行速度已被确定。因此我们需要考虑到回焊炉的升温降温斜率以及时间，炉温曲线始终保持连续，需要注意的是各温区之间的温度差。而考虑到速度较快，物体导热也需要时间。我们这里假设物体导热系数对它影响不大，并且时间已知。那么这就是一个线性问题，我们便可以采用 MATLAB 里的CFtool 工具箱进行曲線拟合，我们分别采用了傅立叶变换（将函数表示成一组具有不同幅值的正弦函数或积分）跟正弦函数拟合炉温曲线。由于生产车间室温不会为0度，因此我们在这里舍弃正弦函数，通过对比我们发现五级傅里叶函数最为精确。

并且得出了函数关系式（1）：

二.模型假设：

1.假设各个温区的材料厚度均匀，各个部位厚度相同;

2.忽略各个温区之间间隙的空气对流，即把每个温区当做导热固体;

3.因为外部温度恒定，所以不考虑热辐射的影响;

4.假设温度的变化对材料热导率、比热容和密度无影响（因为影响导致的变化非常小，故忽略不计）;

5.假设温度只沿步进式传输带运动方向进行正反向传导，不考虑其垂直方向的传导;

假设各温区温度的设定值分别为173℃（小温区1～5）、198℃（小温区6）、230℃（小温区7）和257℃（小温区8～9）。

热传导（thermal conduction）：是介质内无宏观运动时的传热现象，其在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言，只有在固体中才是纯粹的热传导，而流体即使处于静止状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生自然对流，因此，在流体中热对流与热传导同时发生。 热传导是热传递的三种（热对流、热传导、热辐射）方式之一。热传导是固体中热传递的主要方式。在气体或液体中， 热传导过程往往和对流同时发生。

热阻：热阻是指当热量在物体上传递时，物体两端的温度之差与热源功率之间的比值，在有温度的条件下，物体抵抗传热的能力越强，则热阻越大，热导率越好， 通常热阻越低，热阻计算公式为：

Q是导热速率，k是热导率，T为温度，A为接触？积;单位时间内所传导热量（热流量）为：

Kr是传热系数，A为物体表  积，T为物体两个侧？的温度差。

导热系数：是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为 1 度（K·℃），在一定时间内，通过 1 平方米面积传递的热量，单位为瓦/米·度（W/（m·K），此处为 K 可用℃代替）。导热系数是建筑材料最重要的热湿物性参数之一，与建筑能耗、室内环境及很多其他热湿过程息息相关。导热系数仅针对存在导热的传热形式，当存在其他形式的热传递形式时，如辐射、对流和传质等多种传热形式时的复合传热关系，复合传热关系通常被称为表观导热系数、显性导热系数或有效导热系数（thermal transmissivity of material）。

三.建立模型

我们通过傅立叶公式变换建立了基于传热机理的空气一维温度传导模型。下面我们以各个小温区作为研究对象，根据传热机理推导各个温区对空气的热传导模型。进而推导空气被加热时的一维温度场分布的微分方程。在假设加热空气的热物性参数为常值的情况下（这样做是为了推导方便，如果热物性参数不为常值，将相应的计算公式带入热传导方程即可）。

在 dt 时间内，沿 x 轴方向从左侧进入微元体中的热量，根据傅立叶定律可以确定为：

由能量守恒定律可知，在没有内热源的情况下，导入微元体上的热量等于导 出的热量加上微元体内能的增加量。微元体的内能增加为：

由于该微分方程是根据一般规律推演的，所以能够满足一切导热物体的温度 场，因而它在数学上有无穷多个解。而我们需要的是得到针对某一工程实际问题的特定解。

四.模型的求解

将实测的温度跟时间t，以及各值得范围代入到傅里叶函数关系式中并联立模型得出下列约束条件：

联立上述两式通过 lingo 对目标函数（上文函数关系式（1））：

进行线性规划求出最优解，得出最大过炉速度为80.27cm/min

参考文献：

[1]温度和含湿量对建筑材料导热系数的影响 孙立新; 冯驰; 崔雨萌 土木建筑与环境工程 2017-12-15

[2]葛新石 叶宏. 传热和传质基本原理. 北京. 化学工业出版社. 2007. 36-37.1.

[3]汤宗健，谢炳堂，梁革英.回流焊炉温曲线的管控分析[J].电子质量，2020（08）：15-19+23.

作者简介：

唐汝晨，男 ，汉族，湖北省孝感市，2001年10月21日，机电工程学院，本科在读 ，研究方向：机械设计制造及其自动化

梅阳森，男，汉族，湖北省武汉市，2002年10月14日  机电工程学院，本科在读 ，研究方向：机械设计制造及其自动化

杨东，男，侗族，贵州省黔东南 1999年7月28日 机电工程学院，本科在读 ，研究方向：机械设计制造及其自动化

（武汉东湖学院   湖北   武汉  430212）