关于微分本质的思考

刘晓

【摘要】本文从微积分历史发展角度讨论牛顿、莱布尼茨等人的微分思想.他们都有天才的直觉，但是缺少逻辑基础，并发现柯西等人建立的现行微积分体系下的微分定义存在缺陷.最后从历史和哲学的角度，认为微分本质上是量的有无相互过渡的中介，现行的量-形模型需要发展.

【关键词】微积分原理;微分;本质

自从牛顿和莱布尼茨各自独立地提出微积分方法后，数学界对建立微积分原理的努力持续了数百年.关于微分本质的探讨是这个过程中的重要内容，牛顿、莱布尼茨、伯努力兄弟、欧拉等人对此都有所思考，直到柯西给出了一个公认度相对很高的微分定义.在牛顿和莱布尼茨的微积分体系中，微分是基础;而在柯西建立的体系中，微分则不太重要.有关微分的本质和意义仍存在争议.

一、牛顿与莱布尼茨微分的意义

牛顿在论文《分析学》中将变量x，y的无限小增量命名为“瞬”ο，表示不依赖于固定时间的静止无限小量，有时直接令其为零，忽略ο项，他证明了曲线y=axmn圍成区域的面积为anm+nxm+nn.在《流数法》中，他从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内变化的部分称为“瞬”，“瞬”随时间连续变化，生成量的“瞬”就是指函数的微分.在《曲线求积术》中借助于几何解释，他把流数理解为增量消失时获得的最终比，并在后来解释最终比为“无限减小的量之比所趋向的极限”[1]，“弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比.”从算数角度……