逆向看问题 解题更迅疾

都颖

【摘要】逆向思维在中学数学解题中有着举足轻重的地位，对学生数学核心素养的培养也起到了重要作用.本文將从逆向思维的对立方向和对立角度出发，旨在引导学生在数学解题过程中学会从正向和逆向灵活地看待问题，并熟练运用该思维解决问题.

【关键词】逆向思维;中学数学;解题运用

数学思维根据其思维的方向可以分为正向思维和逆向思维[1].一般对学生而言，他们习惯于从正向来看待问题，这也是解题的一般思路，但有时顺着思维正向解题时，会感到有分类讨论种类烦琐、计算篇幅长且复杂等各种各样的困惑，甚至有些题目干脆显示此路不通，这时如果加以引导，带领学生体会从逆向解决问题的益处，不仅能够提升学生的数学解题效率及正确率，还能够为他们逻辑思维能力的提升打下坚实基础.这么说来，在如今的中学数学解题训练中，培养逆向思维的重要性就不言而喻了.

显而易见，逆向思维也就是一种从对立的方向或对立的角度去考虑问题的思维方式，在如今的中学数学教材中，出现了很多的解题方法如反证法、分析法、逆否命题法等，都是这种思维方式的折射[1]，教师要善于将这种思维方法植入到学生的脑海中去，让学生在日常的解题过程中灵活运用，做到出奇制胜.而笔者也将从该思维入手，从“逆向思维之对立方向”和“逆向思维之对立角度”两个方面来谈谈逆向思维在中学数学解题中的神奇作用，旨在引导学生碰到此类问题能够举一反三，利用逆向思维快速解决问题.

一、运用逆向思维从对立方向解决问题

“对立方向”即“反方向”，在日常数学解题过程中，大多数学生都会存在一种正向的定式思维，也就是当他们拿到题目时，会先由各个已知条件得出其中隐藏的深意，再将这些隐藏的内容一一罗列，最终证明或解答，这也是我们常见的演绎思维中的“由因溯果”的解题策略.但有时，特别在一些证明题中，从那些已知条件入手，很难明白出题者想要考查学生哪些知识点，找不着点也就做不出题，但倘若从问题出发，反推出我们所需要的条件，然后在已知条件中对应寻找这些所需条件，题目的考查点和解题思路都会变得清晰可见，可知，“执果溯因”更能使解题过程畅通无阻.

（一）逆向巧解代数问题

在函数、不等式、方程等代数类问题的解题过程中，公式的选择较为繁多，计算的步骤较为复杂，许多学生开始琢磨不透何时何地该选择怎样的概念与怎样的公式才能快准狠地解决问题，为了在解题过程中少走些弯路，我们可以根据概念的逆运用与公式的逆运用，从结论出发，快速找出题设所需要的概念定理.

例1 设a，b∈R+且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2.

分析 按照证明不等式的一般步骤，应为移项，然后合并同类项，令不等式大（小）于0即可，或者左右两边相除，比值大（小）于1即可，但此题采用这样的形式解题，在解题过程中会出现很多问题，比如，合并同类项时应以a，b中哪个为未知数，哪个为常数，在做比值时怎样判断分子大还是分母大等等.此时，不如从结论出发，要证明a3+b3>a2b+ab2成立，就要证（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立，因为a，b∈R+，a+b>0，只需要证a2-ab+b2>ab成立，即（a-b）2>0成立，很显然上式是成立的.

证明 上述分析已经从反方向推导出了令题中不等式成立的条件，于是在证明时，只要把我们反向推导出的结论当作条件，逆向推出题中要证明的不等式即可，证明如下：因为（a-b）2>0，所以a2-ab+b2>ab，又因为a，b∈R+且a+b>0，所以（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b），即a3+b3>a2+ab2[2].

（二）逆向巧解几何问题

无论是初中的相似全等，还是高中的点线面关系，又或者是空间几何等问题，都会大量运用到这种逆向思维，因为在几何问题中给出的已知条件几乎都是在图形中已经存在的边角关系，学生很难在这些边角关系中正向整理出出题者想要考的那个知识点，反而从结论出发，倒推出解题所需要的知识点，直至推到已知条件，这样做会显得更加快捷方便.

例2 如图所示，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G.连接BB′，CC′，若AD=7，CG=4，AB′=B′G，则CC′BB′为多少？

分析 此题涉及了几何图形中线段长度的比值问题，常规思路就是分别计算CC′与BB′长度，然后作比，但是在这个几何图形中，发现所要求的两条线段不在一个规则的图形当中，可以说是相差甚远，那怎么把它们联系起来呢？于是，和大多数几何题类似，反过来思考，尝试从问题出发，在中学阶段求两条线段之比，除了在三角形中解出长度再作比，很容易想到的就是图形的相似，那么CC′与BB′就在两个相似三角形中，由于图中BB′只存在于△ABB′中，而线段BB′所对应的角度恰好是一个旋转角，C′也是由C转过一个相同的角度后得到的，旋转中心为A，于是很容易联想到连接AC，AC′，这时会发现△ABB′与△ACC′相似，则CC′BB′=ACAB，也就是矩形对角线与宽之比，问题也就转换成了求矩形的宽，已知CG=4，求出DG的长即可，于是令DG=x，要求线段长度，必定放在三角形中去求，于是又连接AG，构造直角三角形，由题意可知，AG=2AB′，AB′=AB=CD=4+x，于是在△ADG中可以解出x，求出矩形的宽.

解答 连接AC，AG，AC′，设DG=x，AB=AB′=B′G=DC=4+x，因为∠AB′G=90°，所以AG=2（4+x），在△ADG中，72+x2=2（4+x）2，解得x=1，所以AB=DC=5，AC=74.又因为∠BAB′=∠CAC′，ABAC=AB′AC′，所以△ABB′与△ACC′相似，所以CC′BB′=ACAB=745.

二、运用逆向思维从对立角度解决问题

“对立角度”即“反方面”，这也是逆向思维的另一个要义，也可以称作为“求异思维”.如今很多的中高考题，为了评估学生的实际运用能力，考题中都会加上些实际情境，要求学生根据情境自主讨论，然后尽可能从正面给出完整的解答，但有时情境情况一复杂，学生就会条理紊乱，错情况的事件常常发生，如若尝试着从反面进行解答，求其补集，再得正解，这样的做法会显得干净利落、准确无误.这种解题思想在排列组合的题型中出现得比较多，而反证法也是该思想的典型代表.

（一）逆向巧解排列组合问题

在高考中，排列组合及计数原理这一模块运用反面求解的题型比较常见，在一个整体为“1”的事件中，若符合条件的正面事件出现的次数比较繁多且复杂，这时不妨尝试着从对立角度看待问题，找出不符合条件的对立事件，用整体“1”减去这个对立事件的概率，得到的就是符合条件的事件概率.

例3 某公司有男演员6人，女演员4人，其中男、女队长各1人.现要选派5人外出演戏.问：在下列情形中各有多少种选法？

（1）至少有1名女演员;（2）队长中至少有一人被选派外出.

正面分析 （1）至少有1名女演员被选派外出包括了以下几种情况：第一种，1名女演员4名男演员，即C14C46=60（种）;第二种，2名女演员3名男演员，即C24C36=120（种）;第三种，3名女演员2名男演员，即C34C26=60（种）;第四种，4名女演员1名男演员，即C44C16=6（种）.利用分类加法计数原理，可得至少有1名女演员被选派外出的选法有60+120+60+6=246（种）.（2）队长中至少有一人被选派外出包括了以下几种情况：第一种，只有男队长被选派外出，即C48=70（种）;第二种，只有女队长被选派外出，即C48=70（种）;第三种，男、女队长都被选派外出，即C38=56（种）.利用分类加法计数原理，可得队长中至少有一人被选派外出的选法有70+70+56=196（种）.

反面分析 （1）“至少有1名女演员”的反面为“全是男演员”，于是，只要从整体中扣除“全是男演员”的情况即可.整体的情况为从10人中任选5人，即共有C510=252（种），“全是男演员”的情况共有C56=6（种），则至少有1名女演员被选派的情况有252-6=246（种）.（2）“至少有1名队长”的反面为“没有队长”，于是，只要从整体中扣除“没有队长”的情况即可.整体的情况为从10人中任选5人，即共有C510=252（种）.“没有队长”的情况共有C58=56（种）;则队长中至少有一人被选派的情况有252-56=196（种）.

说明 根据上述正反分析，容易看出从对立面解决问题能省去许多不必要的分类讨论.而在高考中，许多排列组合的题目都与此题类似，题目中总喜欢有“至少”“至多”等词语的出现，适当地利用反面情形间接求解，体会逆向解题的快捷方便.

（二）逆向巧解综合实践问题

综合实践类问题主要是体现逆向思维在实际生活中的巧妙运用，实际应用问题不比精心设计过的纯数学题，存在更加复杂的讨论以及让人琢磨不透的不确定因素，从正面解答往往会导致思维的混乱，结合数轴、集合等工具从反面解决问题有时会让自己豁然开朗.

例4 某年級有50名学生参加了钢琴、象棋兴趣班，在学校举办的钢琴、象棋技能大赛中，在钢琴比赛中获奖的有40人，在象棋比赛中获奖的有31人，两个比赛都没有获奖的有4人，问：两个比赛都获奖的有多少人？

正面分析 通过对题目的分析，我们发现，本题包含了四种人：钢琴比赛得奖且象棋比赛也得奖的人、钢琴比赛得奖但象棋比赛没得奖的人、钢琴比赛没得奖但象棋比赛得奖的人、钢琴比赛没得奖且象棋比赛也没得奖的人.根据已知题目条件，我们可以罗列出四个恒等式：四种人数之和=50、钢琴比赛得奖且象棋比赛也得奖人数+钢琴比赛得奖但象棋比赛没得奖人数=40、钢琴比赛得奖且象棋比赛也得奖人数+钢琴比赛没得奖但象棋比赛得奖人数=31、钢琴比赛没得奖且象棋比赛也没得奖人数=4.于是，根据上述四种人与四个恒等式，我们可以联想到设未知数解方程，所以，设钢琴比赛得奖且象棋比赛也得奖人数x名、钢琴比赛得奖但象棋比赛没得奖人数y名、钢琴比赛没得奖但象棋比赛得奖人数z名，则有x+y+z+4=50，x+y=40，x+z=31，解出x=25，即为两个比赛都获奖的人数.

反面分析 “钢琴比赛中获奖的有40人”的反面为“钢琴比赛中没获奖的有10人”，“象棋比赛中获奖的有31人”的反面为“象棋比赛中没获奖的有19人”，由于两个比赛都没有获奖的有4人，那么至少有一个比赛没获奖的有10+19-4=25（人），则剩下的人数就为两个比赛都获奖的人数，即为50-25=25（人）[3].

说明 根据上述正反分析，可知当题目中涉及的变量比较多时，可尝试使用逆向求解的方法.此题的反面求解法也运用到了集合的思想，如果用Venn图加以辅助说明，此题条理会变得更加清晰.

三、结束语

综上所述，逆向思维在中学数学解题过程中的巧妙应用不仅可以提高学生的解题速度和正确率，还可以培养学生的直观想象、逻辑推理等数学素养，同时逆向看待题目少了些弯弯绕绕，可以让学生体会到解题成功的成就感，提高他们的解题兴趣，让他们爱上数学.

【参考文献】

[1]许卫俊.逆向思维在高中数学解题中的应用[J].中学数学，2014（4）：52-53.

[2]王明礼.逆向思维在解题中的应用[J].中学教研（数学版），2007（7）：19-20.

[3]白北平.逆向思维在初中数学解题教学中的应用[J].中学数学，2018（12）：85-86.