简解函数由值域反求定义域问题

2020-03-17 02:57梁宗明
数理化解题研究 2020年1期
关键词:值域定义域图象

梁宗明

(甘肃省兰州市兰化一中 730060)

在高中数学中,在函数解析式已知的前提下,依据定义域求其值域的题型,非常常见,研究较多,但是,在函数解析式已知的前提下,依据给定值域反求其定义域的题型,并不多见,前者是顺向思维问题,结果唯一.后者是逆向思维问题,由函数的“映射定义”得出结论,一个y值可由多个x值与之对应,一般情况下,由函数的值域不能唯一确定其定义域,定义域结果无穷尽,难以掌握.除非函数是单调的.但数形结合思想可以轻松解决此类问题.

例2(2016·无锡模拟)已知函数y=x2-2x+3,在闭区间[0,m]上,y∈[2,3],则m的取值范围为____.

解析作出函数f(x)的图象如图所示.当x=1时,y有最小值为2,当x=2时,y=3,当x=0时,y=3.满足y∈[2,3]的最小区间x∈[0,1],满足y∈[2,3]的最大区间x∈[0,2].数形结合易得m∈[1,2].

例3若函数y=4x-3·2x+3的定义域集合是A,值域y∈[1,7],若集合B=(-,0]∪[1,2],则集合A与B的关系____.

解析设2x=t,(t>0),f(t)=t2-3t+3,当t=1或t=2时,y有最小值为1,当t=4时,y=7,当t=0或t=3时,y=3,当t∈(0,1]∪[2,4]时,y∈[1,7].如果规定t取其他范围的值,同样可以满足y∈[1,7].结合图象具体说明如下:作函数f(t)=t2-3t+3的图象,在(0,1]内任取a,在[2,4]内任取b,使得f(a)=f(b).

则t∈(0,1]∪[2,4]或者t∈(0,1]∪[b,4](b∈[2,3])或者t∈(0,a]∪[2,4](a∈(0,1]).依据a,b的不同值,满足题意的集合有无穷多个.但所有集合都是它的(0,1]∪[2,4]子集,显然(0,1]∪[2,4]是B=(-,0]∪[1,2]的子集.所以A⊆B.

点评根据函数的值域反求其定义域问题,属于不确定性的逆向问题,题目中一定有确定性条件支撑,以确定性条件为突破口,利用数形结合思想,研究满足值域的定义域的最小范围和最大范围是关键.

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