峰回路转难有因 顺藤摸瓜终得果
——对2018年高考(Ⅱ)压轴题的解法剖析

2020-03-17 02:58
数理化解题研究 2020年1期
关键词:标准答案交点零点

袁 琳

(甘肃省通渭县第二中学 743300)

一、例题及解析

已知函数f(x)=ex-ax2,

(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.

1.高考标准答案的解题过程

(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0,

设g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x,

当x≠1时,g′(x)<0,∴g(x)在[0,+)上单调递减,而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.

(2)设函数h(x)=1-ax2e-x,

f(x)在(0,+)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+)只有一个零点,

①当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点,

②当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x,

当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+)时,h′(x)>0,

故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+)有两个零点,

综上,f(x)在(0,+)有一个零点时,

2.对标准解答的两点质疑

(1)亲临考场,考生对“巧的变形”能否想到?一般地,当给定的条件式较复杂或未知时,易想到化归与转化思想,化复杂为简单,化未知为已知.此题条件式从结构与形式上,已很简化、明了,而标准答案的变形式比原式的更复杂,或许考生对此变形难有突破.

(2)解答(1)与(2)的思维能否有效地衔接上?标准答案的(1)与(2)的解题均以“先变后建”为入口,如果(1)的解答不按标准答案来解答,那么(2)的解答更难与标准答案来对接了.笔者对该题做了深入钻研,提出以下常规解法:

①当a=1时,不妨设g(x)=ex-2x,则g′(x)=ex-2.

∵在[0,ln2)上,g′(x)<0,在(ln2,+)上,g′(x)>0,

∴g(x)在[0,ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调递增,

∴g(x)≥g(ln2)=2(1-ln2)>0,即f′(x)>0,∴f(x)在[0,+)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=1,即f(x)≥1.

②f′(x)=ex-2ax,令g(x)=ex-2ax,则g′(x)=ex-2a.

(ⅰ)当a≤0时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,+)是单调递增,

∴g(x)>g(0)=1,即f′(x)>0,∴f(x)在(0,+)是单调递增,

∴f(x)>f(0)=1>0,故函数f(x)在(0,+)上没有零点,不合题意.

(ⅱ)当a>0时,令g′(x)=0,则x=ln2a.

且若x→0,则g(x)→1;若x→+,则g(x)→+.

不妨设x1,x2是方程g(x)=0的两实数根,

则在(0,x1)上g(x)>0;在(x1,x2)上g(x)<0;在(x2,+)上g(x)>0,

∴f(x)在(0,x1)是单调递增;f(x)在(x1,x2)是单调递减;f(x)在(x2,+)是单调递增.∵f(0)=1,∴f(x)的零点只有在x2处取得,令①

又g(x)=ex2-2ax2=0 ②

二、以零点的概念为据对(2)做进一步的探究

1.分离参变量法

令f(x)=0,则ex-ax2=0,∵x∈(0,+),令(0,+),则在(0,2),h′(x)<0;在(2,+),h′(x)>0,∴h(x)在(0,2)上单调递减;在(2,+)上单调递增,又若x→0,则h(x)→+;若x→+,则h(x)→+.事实上,当x→0时,的结构型,显然h(x)→+;而当x→+时,的结构型,根据教材中所学知识:当x为较大值时,指数函数y=ex的增长远比y=x2的增长大,得知.

2.数形结合法

令f(x)=0,则ex=ax2.

令t(x)=ex,x∈(0,+),k(x)=ax2,x∈(0,+).

在同一直角坐标系下,画出两个函数的图象:

1.当a=0时,如图1,因两个函数的图象没有交点,故f(x)没零点,不合题意.

2.当a<0时,如图2,因两个图象没有交点,故f(x)没有零点,不合题意.

3.当a>0时,两个函数的图象的交点个数可能有0、1、2三种情况,而依题只需1个交点,从而两个函数图象如图3.

依题可得:曲线t(x)=ex与k(x)=ax2在x=x0处的切线是同一直线,故ex0=2ax0②.

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