例说二元最值问题的求解

王小檐 肖振华

摘要：最值问题的探究是高中数学教学的重要组成部分，也是各类竞赛命题的重点考查对象。本文以高中数学最值例题为切入点，首先探讨二元最值问题的一般解法，然后给出另一种新颖解法“参数法”来解决二元最值的这一类问题，并归纳总结此类问题的通法，为二元最值问题的解答开辟了新的思路，在某种程度上也提高了学生解题能力。

关键词：最值问题;高中数学;通法研究;参数法

一、 典题呈现

【例1】（2013年浙江大学自主招生试题）若x2+2xy-y2=7（x，y∈R），求x2+y2的最小值。

分析：此种题型是高中数学最值问题探究的一道经典题型，随着新高考改革的趋势，近些年最值问题是高考数学命题的热点问题，也是数学竞赛命题的重要组成部分，本题的已知条件是满足一个二元二次方程，目的是要求x2+y2的最小值，此题的一般解法也非常多，切入点很容易把握，本文以这道题为例探究其一般解决方法，并重点研究“参数法”解决此类问题。

二、 一般解法

评注：判别式法在最值问题的处理上属于常规解法，这种解法的关键是换元之后再变形，使得所求式子x2+y2成为二次项、一次项系数和常数项，然后再利用判别式Δ≥0求出范围即可。

评注：均值不等式在最值问题的求解中是很常见的，使用范围比较广，此种解法的关键是涉法凑成2xy和x2+y2这两种形式，因为有均值不等式x2+y2≥2xy（当x=y时，取“=”）做保证就很容易求出其最小值。

评注：使用三角代换法解题的关键是很好地利用三角函数的有界性构造不等式，这里通常结合辅助角公式进行考查，学生需熟练掌握辅助角公式。……