例谈几何教学中的解题反思

邵潇野

反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使学生的现实世界数学化，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平。解题反思即在解题之后反思该习题考核哪些方面的概念、知识和能力;验证解题结论是否正确合理;命题所提供的条件的应用是否完备;求解论证过程是否判断有据，严密完善;有无其他解法，一题多解;众多解法中哪一种最简捷;把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论等等。

1、解题反思的意义

反思是一种有效的学习方式，它的基本特征是探究性，即在考察学习活动的经历中探究其中的问题和答案，重构自己的理解，使学习活动成为一种有目标，有策略的主动行为。通过反思可以更好地根据自己的需要和不断变化的情况调整自己的策略，通过反思自己解题过程的成败得失，不断地有新的发现，新的体会，解题过程便不再枯燥乏味。

1.1发展思维能力

反思是培养学生良好思维品质的有效途径，诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到重要的作用，解题的目的并不单纯为了求得问题的结果，更是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神。反思能及时调整思维过程，修改思维方法和解决问题的手段，从而提高思维活动的有效性、自觉性和正确性。

1.2提高学习效率

对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生摆脱题海战术，从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，充分挖掘、反思，并深化、改造、变式，可以有效地帮助学生提高学习效率。

2、解题反思的内容途径

引导学生反思、总结、归纳，既使他们看到自己思想的不全面，培养思维的逻辑性，完善解题过程，训练思维的严密性，丰富解题思路，又使他们学习揭示概念本质的思想方法，使学生切实体验了数学思想方法对解题的指导作用。

2.1反思习题多种变式

变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，非常有助于学生提高分析问题、解决问题的能力。学生在分析和解决几何问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。要抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式拓展，一题多问，一题多变。

2.2反思习题错误根源

学生对一些几何问题缺乏多角度的分析和判断，容易造成错误。通过反思，发现自己思维过程中的不足之处，有利于培养认真细致的良好习惯。错误是一个等待被发掘的宝藏，利用得当，就会产生巨大的效能。要剖析错误原因，使学生在纠正错误的过程中掌握基础知识，理解基本概念，培养反思能力。

【范例2】已知：如图4，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点E，延长AE，交△ABC的外接圆于点D，连接BD，CD，CE。已知∠BDA=60?。

（1）求证：△BDE是等边三角形，

（2）若∠BDC=120?，猜想四边形BDCE是什么形状的四边形。

[解析]由∠DBE=∠DEB，∠BDA=60?证得。

错解：（1）把点E为圆心直接当成条件，

（2）把AD为直径直接当成条件，

（3）把△ABC为正三角形直接当成条件，

反思错误原因：以主观意想代替了客观实在，没有从题意出发，认真审题，理性分析。“眼见不一定为实”，数学需要科学的探究精神和实践。

2.3反思数学思维过程

要引导学生回顾和整理解题思路，概括解题思想，使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化。培养学生发散思维的能力，培养学生思维的严密性。充分挖掘习题的教学功能，最大限度地调动学生的思维积极性，尽可能地触学生思维的“最近发展区”，充分暴露学生的思维过程。

【范例3】如图5，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，由4个这样的等腰梯形可以拼成图所示的平行四边形。

（1）求四边形ABCD四个内角的度数;

（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由;

（3）现有图6中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图。

[解析]解法不一，如图7（1）——（4），易证：

（1）∠A=∠B=60?，∠C=∠D=120?。

（2）AB=2BC=2CD=2AD。

（3）经历动手画图实验后，学生的思考结果：如图十一（1）——（4）。

[反思1]梯形的个数有什么规律？能用12个梯形拼吗？4个，8个可以吗？为什么？

证明：不妨设梯形ABCD中，AB=2BC=2CD=2AD=2，用x个梯形ABCD拼成的菱形边长为a，则

由此可見，菱形边长a一定是3的正整数倍，若a为3n，则x=6n2。即所用梯形个数只能是6，24，54……

[反思2]如果把梯形ABCD进行分割：

（1）如图9，先分割为三个等边三角形，再把每个三角形分割为三个等腰梯形。

（2）把（1）中所得的9个等腰梯形以相同的方法分割下去……

（3）探索规律：设等腰梯形ABCD的周长为p，面积为q，则第n次分割所得的最小梯形的周长、面积如何表示？

总之，通过反思，学生能积累起几何解题的经验，促进知识的同化和迁移。要从解决问题的方法、规律、思维策略等方面进行反思，总结解题经验教训，扩展思路，纵横联系，有效的拓展和迁移，培养学生举一反三、融会贯通的能力。

参考文献：

[1]熊川武，反思性教学[M]。上海：华东师范大学出版社，1999

[2]几何解题教学应突出的三个关注点，[J]中学数学教学参考，2019，4

（作者单位：浙江省温州市第十四中学）