分数阶自治Kirchhoff方程径向变号解的存在性

张丹丹， 丁 凌

(湖北文理学院数学与统计学院， 襄阳 441053)

1 引 言

本文考虑全空间上分数阶自治的Kirchhoff方程：

|u|p-1u,x∈RN，N≥2

(1)

近年来，Kirchhoff方程得到了广泛的关注. 由于Kirchhoff类非局部项与弹性弦自由振动的达朗贝尔波方程有关，它常被用于描述弹性弦横截振动产生的弦长变化规律，后来也被用来描述生物系统中种群密度的变化规律，奇异问题与非牛顿流体，粘性流体的边界层现象及化学异构催化剂等.

近年来，分数阶微分方程已被广泛应用于分形学、材料科学、控制科学、信号分析及工程科学等学科领域. 目前，多数文献(如文献[1])都仅考虑整数阶Kirchhoff方程, 对分数阶Kirchhoff方程的研究较少.文献[2-7]研究了分数阶Kirchhoff类方程解的存在性. 其中，对于有界区域， 文献[2-6]用截断理论及亏格等临界点理论得到了具有临界指数的分数阶Kirchhoff类方程非平凡解的存在性、渐近行为及多重性. 对于全空间或无界区域，文献[6-8]用约束变分及形变引理得到了分数阶非自治的Kirchhoff类方程变号解的存在性. 受文献[5-7]的启发,本文研究分数阶自治的Kirchhoff方程变号解的存在性.

当a=1,b=0，α=1时，方程(1)变成整数阶Schrödinger方程(场方程)

-Δu+u=|u|p-1u,x∈RN，N≥2,

当a=1,b=0，α∈(0, 1)时，方程(1)变成分数阶Schrödinger方程

(-Δ)αu+u=|u|p-1u,x∈RN，N≥2

(2)

本文将利用定理A来研究方程(1)的径向变号解的存在性.

2 预备知识

对于α∈(0, 1)，考虑分数阶Sobolev空间

Hα(RN,R)={u∈L2(RN,R):

及

H=Hrα(RN,R)={u∈Hα(RN,R):

u(x)=u(|x|)}.

定义H中的内积和范数分别为

(u,v)H=

3 主要结果

(3)

故

(-Δ)αv(y)+v(y)=(-Δ)αv(y)+v(y)=

|v(y)|p-1v(y)=|u(x)|p-1u(x).

(4)

即

(5)

根据式(4)和u∈H是方程(1)的解得

(-Δ)αv(x)+v(x)=(-Δ)αu(y)+u(y)=

|v(x)|p-1v(x)

(6)

引理3.2如果

其中M=inf{v∈H{0}:v是系统(3)中第一个方程的解}，则m>0.

证明 对任意的v∈M{0}，由Pohozaev等式有

由插值不等式，对任意小的ε>0，存在Cε>0使得下列不等式成立：

(7)

(8)

对某个C1>0成立. 由(8)式可推出

则系统(3)至少有一对解(v,λ), 其中v∈H是径向变号的，λ>0.

证明 对任意的v∈H{0}，在R+上定义函数

下证当v是系统(3)的第一个方程的径向变号解时，满足系统(3)的第二个方程的λ>0是存在的, 即证hv(λ)有正的零点. 设

则hv(λ)至少有两个正的零点0<λ1<λ*<λ2<+∞. 则系统(3) 至少有两对解(v,λi), 其中v∈H是径向变号的，λi>0(i=1,2).

则方程(1)至少有一个径向变号解.

证明 由引理3.1和引理3.3可知，方程(1)有一个径向变号解，故定理3.4得证.

注分数阶Kirchhoff类方程是一个非局部的偏微分方程，非局部积分项给方程解的研究带来困难. 但本文发现分数阶自治的Kirchhoff类方程可以转化为一个分数阶自治的Schrödinger系统.特别地，系统的第一个方程是一个分数阶的自治Schrödinger方程. 因此, 如果单个分数阶自治的Schrödinger方程解的存在性结果是已知的，则相应分数阶自治Kirchhoff类方程在一定条件下也有相应的结果. 这就给分数阶自治的Kirchhoff类方程的研究提供了一种新方法.