基于分数阶灰色模型的农业用水量预测

李 俊，宋松柏，郭田丽，王小军

基于分数阶灰色模型的农业用水量预测

李 俊1，宋松柏1※，郭田丽1，王小军2,3

（1. 西北农林科技大学水利与建筑工程学院，杨凌 712100；2. 南京水利科学研究院水文水资源研究所，南京 210029；3. 水利部应对气候变化研究中心，南京 210029）

针对农业用水量序列的振荡特性以及传统灰色预测模型的过拟合问题，该文提出分数阶灰色预测模型。将农业用水量振荡序列转化为单调递减非负序列，并以转化序列为基础，根据“阶数最大（或最小）”、“历史数据拟合最好”2个目标函数构造优化模型，采用改进NSGA-II（non-dominated sorting genetic algorithm II，NSGA-II）进行模型求解。根据验证集拟合结果优选出模型阶数，结合分数阶反向累加灰色模型（fractional order reverse accumulation grey model），以通辽市和宝鸡市为例，进行农业用水量的预测。为了检验模型性能，将该文模型分别与传统GM(1,1)模型、自回归模型、基于小波分析理论组合模型进行对比。结果表明，该文模型对于通辽市、宝鸡市与鄂尔多斯市的农业用水量预测的相对误差分别为2.33%、0.31%和1.77%。同时，该文模型预测误差最小(比自回归模型分别低1.11%(通辽)、6.18%（宝鸡）；比传统GM(1,1)模型分别低3.32%(通辽)、0.97%（宝鸡）)，具有一定实用性，研究结果可为区域农业用水量预测提供依据。

农业；水；模型；分数阶；灰色预测；振荡序列；过拟合；多目标优化

0 引 言

水资源优化配置是实现水资源可持续利用的重要手段[1]。准确预测通辽市、宝鸡市用水量是发挥该地区水资源优化配置效用的关键[2]。在区域（通辽市、宝鸡市）用水户中，农业用水量占总用水量的70%以上[3]，因此，农业用水量预测对于区域用水量预测具有重要的科学意义。

目前，农业用水量预测的方法主要有定额法[4]、BP神经网络法[5]、自回归滑动平均模型（autoregressive moving average model，ARMA）[6]、指数模型法[7]、灰色模型法[8-9]和系统动力学法[10]等200多种预测方法，其中常用方法有20～30种[11]。定额法主要依据作物特点与现行灌水定额进行预测，但灌水定额编制具有一定主观性与不确定性，因此，定额法难以实现精确预测[12]。神经网络法需要大量的数据进行模型训练，同时还存在过拟合的问题[13-14]。ARMA模型与自回归模型对数据的平稳性要求较高[15]。由于实际用水量序列并不完全符合指数关系，这也限制了指数模型法的应用范围[16]。系统动力学方法需要的数据多、工作量大，而且对实际操作人员的要求高，影响了该方法的进一步推广[16]。灰色模型是一种研究“贫信息”、“小样本”和不确定性问题的方法[17]，被广泛应用于经济、金融等领域。年农业用水量的历史数据量不大，同时受到多种因素的影响，具有震荡性，因此采用灰色模型对农业用水量进行预测具有一定适用性。

分数阶灰色模型将模型阶数从正整数扩展为正实数，能够有效地提高灰色模型的预测精度[18]。在分数阶灰色模型中，分数阶反向累加灰色模型相对于传统的GM(1,1)模型具有预测扰动小、能够利用序列新信息等特点，受到许多学者关注[19]。虽然分数阶反向累加灰色模型在某些情况下也适用于单调非负递增数列[20]，但主要是针对单调非负递减序列[21]，同时，实际的历史用水数据具有一定的振荡性。针对这些问题，需要将历史用水数据转化为单调非负递减序列，文献[22-24]提出将振荡序列转化为单调非负递增序列的方法。为了适应分数阶反向累加灰色模型对于单调非负递减序列的要求，本文提出将振荡序列转化为单调非负递减序列的方法，并以转化后的数据为基础，建立分数阶反向累加GM(1,1)模型，进行未来农业用水量预测。

分数阶反向累加灰色模型的阶数对于模型预测效果有较大影响，以往阶数的确定大多以“历史数据拟合最好”为目标函数构造优化模型，使用智能优化算法对模型求解，并求得最终阶数[20,25-27]。这种方法仅以历史数据拟合程度作为目标函数，往往会造成过拟合，使模型对历史数据中的噪声过度学习。为解决这一问题，本文采用“阶数最大（或最小）”、“历史数据拟合最好”2个目标函数来构造多目标优化模型，应用Matlab编程，采用改进多目标遗传算法（改进NSGA-II）对优化模型进行求解，获得最优阶数，构建分数阶反向累加GM(1,1)模型。在此基础上，选用内蒙古自治区通辽市和陕西省宝鸡市为研究区，进行农业用水量预测。通过本文研究，以期为中国农业需水量预测研究提供新的研究手段和支撑。

1 改进分数阶灰色预测模型

1.1 数据预处理

将收集到的历史数据划分为训练数据、验证数据和测试数据3种。由于历史用水序列为振荡序列，需要将训练数据集、验证数据集转换为单调非负序列。

设训练数据集、验证数据集组成的有序序列为（1、2、…x、x1…x），其中，前个为训练数据，为训练数据集、验证数据集数据的总量，记=max（x-x1|=1、2…），则通过式（1）可将振荡序列转化为单调非负递减序列；

y=x-（-1）+│x-（-1）│+1（1）

式中y（=1、2…）为转换后单调非负递减的训练数据序列。

1.2 分数阶反向累加GM(1,1)模型

分数阶反向累加GM(1,1)模型相对于传统的GM(1,1)模型具有预测扰动小，能够利用新信息的优点。根据分数阶反向累加灰色模型原理，阶反向累加算子可写为[18]

模型的时间响应式为

1.3 模型最优阶数确定方法

1.3.1 基于历史数据拟合确定最优阶数

以历史数据拟合最优为目标函数，可挖掘历史数据的内在规律，为将来的预测奠定基础[25-27]，具体见式（5），但需要指出的是，过度依赖该式也会存在过拟合的风险。

式中2()表示模型对历史数据拟合的程度。

1.3.2 最优阶数确定方法的改进

为了克服计算模型过拟合问题，本文选用“阶数最大（或最小）”为目标函数。同时结合式（5），构造多目标优化模型。

1()表示最大（或最小）阶数。对于式（6），仅以式（5）为目标函数寻找模型阶数会造成模型过拟合，因此，需要防止模型的过度学习，即防止对历史数据的过度拟合。而历史数据拟合效果与模型阶数在不同区间会呈现出正相关或负相关关系。当两者呈现正相关时，为了防止过拟合，需要减小阶数以降低历史数据拟合效果，即以阶数最小为目标；而两者呈现负相关时，则需要加大阶数，即以阶数最大为目标，因此，需要将式（6）的2种形式均进行试算，从而求出最优阶数。

应用改进的NSGA-II对式（5）～（6）组成的优化模型进行求解，得到1个帕累托解集，将解集中的各阶数代入分数阶反向累加GM(1,1)模型，对验证数据集中的数据预测，按照式（7）评价模拟效果，选出模拟效果最好的阶数作为模型最终阶数。

式中3()表示模型对验证集数据预测的相对误差。

根据求得的最终阶数，结合分数阶反向累加GM(1,1)模型对测试数据集的数据进行预测。

2 案例分析

2.1 研究区概况

本文选取内蒙古自治区通辽市（42°15′～45°59′N，119°14′～123°43′E）和陕西省宝鸡市（33°35′～35°06′N，106°18′～108°03′E）为研究区域（见图1），农业分别为2市的主要用水户，占总用水量的70%以上，农业用水效率均在50%左右。2市分别为内蒙古自治区和陕西省粮食生产的主要基地之一[29-30]，随着社会经济的发展，其他行业用水挤占了农业用水，水污染日益严重，2市的农业供水压力加大。因此，有必要对2市的农业用水进行预测，以期为农业供水统筹规划提供依据。根据《2007—2017年内蒙古自治区水资源公报》、《2007—2017年陕西省水资源公报》，收集通辽市和宝鸡市2007—2017年农业用水量数据，参考文献[31-33]，按照6∶2∶2的比例设置为训练数据、验证数据和测试数据。研究区农业用水量见图2。

文献[22-24,34-35]提出，存在，∈（2,3,…）使x>x-1，x<x-1，则称有序序列（1、2、…x、x1…x）为振荡（波动）序列。按照振荡（波动）序列的定义，从图2可以看出，通辽市和宝鸡市的农业用水量呈现一定的波动性（如通辽市2007年农业用水量大于2008年农业用水量，而2008年农业用水量小于2009年农业用水量，宝鸡市2007年农业用水量小于2008年农业用水量，而2008年农业用水量大于2009年农业用水量）。

图2 转化后的数据与原始数据对比

2.2 模型应用及结果分析

2.2.1 数据预处理结果分析

为了使得训练数据适应分数阶反向累加灰色模型对于数据“平稳、单调递减、非负”的要求，需要去除数据的波动性，转化为单调递减的非负序列。按照式（1）进行数据转化，转化后的数据与原始数据的对比见图2，转化结果见图2。

由图2可以看出，转化后的数据为单调递减序列，按照振荡（波动）序列的定义，转化后的序列不属于振荡序列，说明本文的转化方法很好地去除数据的波动性。经过转化后，使数据呈现单调递减的趋势，并且保持非负的特性，符合分数阶反向累加模型对于基础数据的要求。因此，数据转化后在扩大模型适用范围、提供模型较为合适的基础数据等方面具有积极的作用。同时，最终预测结果需要逆向还原计算，消除转化方式对模型的影响。

转化后的数据符合“非负”和“单调递减”的特性，可作为分数阶反向累加模型的训练与验证数据集。

2.2.2 最优阶数确定

为了确定最优阶数，先以“阶数最小”与“历史数据拟合最好”为目标函数构造关于阶数的多目标优化模型，并使用改进的NSGA-II对模型求解，求得帕累托前端。同样，以“阶数最大”与“历史数据拟合最好”为目标函数构造关于阶数的多目标优化模型，并使用改进的NSGA-II对模型进行求解，求得帕累托前端，见图3。从图3可以看出，解集都为帕累托解集，说明改进的NSGA-II具有较好求解效果。目前关于遗传算法参数选择问题并无统一的解决方法，主要通过全面试验法等方法进行确定[36]，本文参考文献[37]的方法，通过数值模拟试验，确定NSGA-II的参数。NSGA-II种群大小为1 000，进化代数为200代，最优前端个体系数为0.3，停止代数200，适应度函数偏差为e-1 000。

图3 农业用水量模型最优阶数确定帕累托解集

将帕累托前端中的阶数逐个代入分数阶反向累加GM(1,1)模型，进行验证数据集数据模拟，并根据式（7）确定模型阶数，验证集预测误差见图4。由图4可以得出，阶数为0.976 1、0.006 2时，模型对于验证数据集中数据的预测效果最好。因此，分别选定0.976 1、0.006 2为通辽市、宝鸡市预测模型的最终阶数。

2.2.3 模型比较与检验

为了对本文所提出模型的性能进行检验，将本文模型与传统GM(1,1)模型[38]、自回归模型[39]进行对比，其中各个模型对于测试集的预测效果见表1。

图4 各个阶数的预测误差

表1 各个模型预测效果对比

注：2016和2017年为测试集，其他年份为非测试集，用于模型率定。

Note: 2016 and 2017 belong to the test set, and other years belong to the non-test set for model parameters determination.

从表1可以看出本文模型对于通辽市和宝鸡市测试集用水量的平均预测误差分别为2.23%、0.31%，误差较小，说明本文模型具有较好的泛化能力。

由表1还可以看出，对于非测试集的模拟，GM(1,1)模型具有最好的模拟效果，相对误差为2.33%（通辽）、2.11%（宝鸡），低于自回归模型（3.37%（通辽）、4.77%（宝鸡））和本文模型（3.82%（通辽）、2.24%（宝鸡）），这与该模型以“历史数据拟合最好”为目标训练GM(1,1)模型（其中，宝鸡：模型阶数为1，为0.022，为4.258；通辽：模型阶数为1，为-0.023，为27.634）有关，但会造成模型的过拟合，而本文模型在“历史数据拟合最好”这一目标的基础上，增加了“阶数最大（或最小）”目标函数，防止模型出现过拟合，这也是本文模型（其中，宝鸡：模型阶数为0.006，为0.046，为-0.010；通辽：模型阶数为0.976，为0.055，为-27.185）关于非测试集的学习误差大于传统GM(1,1)模型的原因，但正是因为本文模型没有对历史数据过度学习，减少了对历史数据中噪声的学习，具有较好的预测效果。

本文模型采用实数阶替代整数阶改进传统灰色模型以正整数作为阶数的做法，能够有效提高模型精度[39]，同时本文模型采用反向累加的方法，加大了对新数据的利用，使模型能够充分利用新信息，有效处理新旧信息不一致的问题。增加“阶数最大（或最小）”这一目标函数，能够防止模型过拟合，增强模型泛化能力，这些也是本模型对测试集预测误差小于GM(1,1)模型预测误差的原因。

由于农业用水数据具有一定的震荡性，会对数据的自相关性产生影响，而自回归模型主要根据时间序列的前后依存关系进行建模[40]，数据的振荡对模型性能产生影响[41]，因此自回归模型的预测效果较差。相对于未对数据进行转化的自回归模型，本文增加数据转化方法，使得振荡序列转化为单调递减的非负序列，降低了数据的波动性，这也有助于提高本文模型的预测精度，同时也能扩大模型的适用范围。

总的来看，本文模型能够很好地预测农业用水量，为了进一步检验模型的性能，引用文献[8]中鄂尔多斯农业用水数据进行预测分析，各模型预测结果如表2。

表2 不同模型对鄂尔多斯市农业用水量的预测结果

由表2可以看出，除了传统GM(1,1)模型外(GM(1,1)预测模型未通过检测)，各模型的预测效果都较好，本文模型、自回归模型和文献[8]模型的预测结果相对误差分别为1.77%、4.17%和2.87%，其中，本文模型的预测误差最小，这说明本文模型对农业用水量的预测具有一定的适应性。

3 结 论

1）本文建立了改进分数阶反向累加灰色模型。针对农业用水序列的振荡性特点和分数阶反向累加灰色模型的数据要求，提出一种将振荡序列转化为单调递减非负序列的方法。为了能够充分利用新数据的信息，采用反向累加的方式构造模型，并采用分数阶“in between”的思想，将阶数扩展到实数范围，增强模型的精度。同时，为防止模型过拟合，在传统目标（“历史数据拟合最好”）的基础上，加入“阶数最大（或最小）”这一目标函数，建立有关阶数的多目标优选模型，使用改进的NSGA-II对模型进行求解，并根据验证集拟合的结果，优选出最优阶数，结合分数阶反向累加GM(1,1)模型，实现对测试集农业用水量的预测。

2）为了对模型的性能进行对比检验，选用内蒙古自治区通辽市和陕西省宝鸡市农业用水量为基础数据，将本文模型分别与传统GM(1,1)模型、自回归模型、基于小波分析理论组合模型进行对比，结果表明，本文模型对测试集的预测误差最小，说明本文模型对于农业用水量预测具有一定适用性，可为农业用水预测研究提供支撑。

3）农业用水受气候条件的影响，而且当气候条件发生显著变化时，会对气候变化前后农业用水数据的一致性造成影响，从而使得在气候变化前后，历史数据会呈现出不同的模式。模型在训练过程中，如果对气候变化前的模式过度学习，则会对预测结果造成一定影响。本文模型训练采用分数阶与反向累加的方式，可以给予新数据较大的权重，使得模型学习过程中能够充分利用新信息，加大气候变化后的模式数据学习，在一定程度上，考虑不同气象条件对农业用水的影响。同时，在未来的模型研究中应该考虑加入气候因素，建立更为合理的用水量预测模型。

区域农业用水常常被其他行业用水挤占，农业用水除了受到自身影响因素的影响外，还受到其他行业用水情况的影响。因此，农业用水数据的震荡性也较大。针对这一问题，本文提出一种数据转化方法，减少了数据的波动性，提高了模型预测的精度。但是，其他行业用水与农业用水需求之间存在许多关联，而这些关联具有不确定性，预测过程较为复杂，有待于进一步深入研究。

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Prediction of agricultural water consumption based on fractional grey model

Li Jun1, Song Songbai1※, Guo Tianli1, Wang Xiaojun2,3

(1.,,712100,; 2.,,210029,; 3.,210029,)

Due to the shortage of water resources, serious water pollution, improper use of water and the occupation of agricultural water rights by other industries, China's agriculture will face the risk of water shortage in the future. Due to the amount of water resources in North China is relatively small compared with that in South China, coupled with extensive operating methods and the low level of agricultural irrigation technology, water resources are wasted seriously, the problem of agricultural water shortage in North China is more serious. Optimal allocation of water resources is one of the main measures to alleviate the shortage of agricultural water resources, and is an important means to achieve sustainable use of water resources. Accurate prediction of regional agricultural water consumption is the key to optimal allocation of water resources. Grey model is a method to study “poor information”, “small sample” and uncertainty problems, which is widely used in economics, finance and other fields. The amount of historical data of annual agricultural water consumption is not enough, which is affected by many factors, and has concussion. Therefore, it is suitable to use grey model to predict agricultural water consumption. The oscillation characteristics of agricultural water consumption data series have a certain impact on the prediction accuracy of the model. To resolve these problems, an improved fractional grey prediction model is proposed in this paper. Based on the monotonically decreasing non-negative series which transformed from the oscillation series of the agricultural water consumption, a multi-objective optimization model was constructed according to the two objective functions of “maximum (or minimum) order” and “the best fit of historical data”, which was solved by the improved non-dominated sorting genetic algorithm II (NSGA-II) method. Agricultural water consumption in the test set for the research areas of Tongliao city (42°15′N-45°59′N, 119°14′E-123°43′E), Ordos city (37°35′24″N-40°51′40″N, 106°42′40″E-111°27′20″E) of Inner Mongolia autonomous region and Baoji city(33°35′N-35°06′N,106°18′E-108°03′E) of Shaanxi province was predicted by the grey model (GM(1,1)) model of fractional order reverse accumulation, the order of which was optimized according to the results of the test set fitting. The average error of the prediction was 2.23%,1.77% and 0.31%, respectively. In order to test the performance of the model, the model proposed in this paper was compared with the traditional GM (1,1) model, traditional autoregressive model and the combined model based on the wavelet analysis theory respectively. Among them, the average prediction error of GM(1,1) model for the Tongliao and Baoji city is 5.55% and 1.28%, but the detection is failed for the Ordos city. The average prediction error of autoregressive model for the three research areas is 3.34%, 4.17% and 6.49%. The average prediction error of agricultural water consumption in Ordos City of Inner Mongolia Autonomous Region based on the combination model of wavelet analysis theory is 2.87%. The results show that compared with GM(1,1) model, the prediction effect of the model in this paper is better, which depends on the objective function of “the best fitting of historical data” and the objective function of “the largest (or the smallest) order” to reduce the learning degree of the model for noise, because the model in this paper transforms the oscillating data and reduces the uncertainty of the data, so compared with the autoregressive model without data processing, the model in this paper is less affected by data volatility. In this paper, the idea of fractional order “in between” is used to improve the traditional gray model with positive integer as order, which can effectively improve the accuracy of the model. At the same time, the method of reverse accumulation is used to increase the use of new data. On the whole, for the prediction of agricultural water consumption in all research areas, the model in this paper has the minimum error, strong generalization ability and certain practicability, which can provide a basis for the prediction of regional agricultural water consumption and the allocation of agricultural water resources in northern China.

agriculture; water; models; fractional order; grey prediction; oscillation sequence; overfitting; multi-objective optimization

李 俊，宋松柏，郭田丽，王小军. 基于分数阶灰色模型的农业用水量预测[J]. 农业工程学报，2020，36(4)：82－89. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.04.010 http://www.tcsae.org

Li Jun, Song Songbai, Guo Tianli, Wang Xiaojun. Prediction of agricultural water consumption based on fractional grey model[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(4): 82－89. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.04.010 http://www.tcsae.org

2019-05-06

2020-01-02

中央财政水资源节约、管理与保护项目（126302001000150005）；国家自然科学基金项目（51479171、51179160、50879070）

李 俊，博士生，主要从事水资源优化配置研究。Email：13707513643@163.com

宋松柏，教授，博士，主要从事水文水资源研究。Email：ssb6533@nwsuaf.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.04.010

TV213.4

A

1002-6819(2020)-04-0082-08