“貌异质同”话类比

翁荔

【摘要】为了帮助学习者解决问题，教师应从沟通联系的角度出发，在探知学生的认知结构的基础上，提出恰当的、对学生有启发的类比案例，帮助学生认识概念、加强理解、强化技能、提高能力，本文通过具体的案例论述如何利用基于问题解决中的类比案例来指导学生学习.

【关键词】问题解决，类比，同质

【基金项目】江西教育科学“十三五”规划课题《基于问题解决的初中数学教学研究》（17PTYB008）研究成果.

类比是解决数学问题的常用方法.波利亚曾经说过：“类比是问题解决的引路人.”在教学活动中，通过类比来促进教学得到了很多研究人员和学者的认可.从认知心理学角度来看，类比就是特殊对象之间的特定信息的转移.运用类比有助于提出猜想、完善图式、促进新发现的产生，但是学生的类比能力不是自然形成的，需要教师不断深入地培养.在基于问题解决的学习中，类比案例以问题属性的相似点和属性关系之间的相似点为基础，通过提供本质相似或相同的问题引发学生的思考，帮助学习者补全认识、通透理解、提高思维品质，现举例与同行探讨.

一、以体会概念为核心的比较

问题1 如图1所示为一种折叠门，此门中间是左右两扇相等的活页门，活页门的右轴固定在门框上.门的上下装有轨道，可以推动左侧的活页门进行开关.现把图1的俯视图简化成图2，已知两扇活页门的宽OB=OC=60 cm，轨道AB=120 cm，点B固定时，点C在AB上左右运动，OC与OB的长度不变，求当点C从点A向右运动60 cm时，点O在此过程中运动的路径长.

问题2 如图3所示为一电动门，当门水平下落关闭时，可以抽象成图4的矩形ABCD，其中AB=3 m，AD=1 m，此时它与入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2 m，当门抬起时，变为图5的平行四边形AB′C′D，此时，AB′与水平方向的所夹的角度为60°.求在电动门抬起至图5的过程中，点C所经过的路径长.

解 问题1：60·π·60180=20π，问题2：60·π·3180=π.

学生的解答情况：这一组问题采取先解答问题1后呈现问题2的方式.刚接触问题1时，很多学生无从下笔，困难之处在于从C，O这两个动点的角度很难确定点O的运动轨迹，问题2在问题1的基础上，学生有了部分解题经验，但是很多學生错误地把A当作定点，CA当作定长来解决问题.

类比点 这一组问题的“同质”之处是对圆的概念的理解，即到定点的距离等于定长的点的集合.这个定义可以等价为圆是确定了一个定点和一段定长后，另一动点形成的图形.

教学小结 用知识解决问题的情况，可以反映学生对知识的掌握程度.通过典型问题的设置，能够帮助学生深化知识的理解，把握核心的思想方法，实现知识结构的调整、补充和完善.这组问题是对圆的定义的深入理解，用运动的观点来理解圆的定义，把动点的轨迹问题转化为找定点和固定线段.通过这样的比较，使学生能从不同角度认识概念，辨识非本质属性和本质属性，建立概念的多元联系，对发展学生的概括能力有着重要的意义.

二、以加强理解为核心的比较

问题1 如图6所示，点P为线段AB外一动点，PA=m，AB=n，请思考点P位于何位置时，线段PB的长取最大值，并求出这个最大值（用含m，n的式子表示）.

问题2 如图7所示，点D为线段EF外一动点，EF=3，DE=1，分别以DE，DF为边，作等边△DEG和等边△HDF，连接GF，HE，求线段HE的最大值.

问题3 如图8所示，已知⊙O的半径为3，OC=5，点B是⊙O上的动点.在△ACB中，∠BAC=90°，AC=AB，连接AO.现将AO绕着点A逆时针旋转90°得到AD，连接CD，求AO的最大值.

解 问题1：当点P位于BA的延长线上时，线段PB取最大值，为m+n=2.问题2：易证△GDF≌△EDH，∴线段HE的最大值=线段GF的最大值.当线段GF的长取最大值时，点G在FE的延长线上，∴最大值为3+1=4.问题3：易证△ABO≌△ACD，∴BO=CD.所以当点D位于OC的延长线上时，OD取最大值8.此时AO=22OD=42.

学生的解答情况：在实际解决问题中，很多学生不理解问题1，为什么点P位于BA的延长线上时，线段PB取最大值，导致后面的问题无法解决.问题2中随着D点的运动，变化的线段很多，学生眼花缭乱、辨识不清.问题3中学生很难想到通过求线段OD来推导线段AO.

类比点 这一组问题的“同质”之处是借助三角形三边关系对图形的理解，如图6所示，随着∠B的变化，△ABC分别经历了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，虽然三角形不同，但都满足三角形两边之和大于第三边，因此，能够理解当它不构成三角形，即A，B，C在同一条直线上时，有最大值a+b.

教学小结 布鲁纳曾指出，比较在帮助学生直观理解和发展抽象水平方面的作用极大.这组问题，看似复杂图形的不同变化，但其最根本的、突破的关键是如图6所示的基本图形.这个本源图形的确定就是逐渐排除无关属性，突出关键属性的过程.从学生的答题情况来看，学生缺乏对基本图形即对运动变化中线段长度的理解.由于学生的心理发展水平不够，教师就需要引领指导学生认识更多细节、本质的内涵，只有通过多角度研究和分析获得的理解，才最有可能迁移到其他事例上去.

三、以强化技能为核心的比较

问题1 若一元二次方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，求x1+x2.

问题2 已知点A（x1，6），B（x2，6）是函数y=x2-2x+4上两点，则当x=x1+x2时，函数值y为多少？

问题3 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-3，0），（1，0），求ba.

解 问题1：x1+x2=43，问题2：x1+x22=1，则x=x1+x2=2，∴y=4，问题3：x1+x2=-ba=-2，∴ba=2.

学生的解答情况 学生对公式的运用有很大的“归属感”，一元二次方程的问题用韦达定理，抛物线涉及a，b的问题，用对称轴公式，例如问题3用抛物线顶点的横坐标解决，即-b2a=-3+12.

类比点分析 这一组问题的“同质”之处是根与系数的关系.问题1是根与系数关系的显性表征.问题2是由一元二次方程过渡到抛物线情境的半显性表征，问题3是内显表征，其较前两问的层次体现在：（1）由二次函数与一元二次方程的关系得，抛物线与x轴的交点即函数值y为0的情况，（2）从3x2-4x-4=0到ax2+bx+c=0的数字到字母的抽象，（3）由公式的顺推到公式的逆推.

教学小结 从一个示例迁移问题解决技能于新的问题，需要学生从该示例中构建起此类问题的图式，并且将它用于新的情境中.只用一个示例往往会使学生侧重于过程的模仿，而忽略问题的结构特征，使学生无法解决变换的其他问题或不能把此方法迁移到其他问题.通过这组问题，教师可以引导学生把方程知识、函数知识有机地联系起来，形成合理的知识组块.当遇到相关问题时，学生能够通过这些知识的合理转换，形成清晰明了简洁的解决方案.

四、以形成能力为核心的比较

问题1 一件工作，小明做10天可以完成，小紅做15天可以完成，问两人合作几天可以完成？设两人合作x天可以完成，则可列方程为.

问题2 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）现假设凫与雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，则可列方程为.

学生解答情况 在这组问题中，教师先展示问题2，大部分学生从速度这个角度来思考问题，无法列出方程，然后教师展示问题1，由问题1的类比很多学生立即想到了解题方案，最后教师鼓励学生举出不重复的例子，深入理解.

解 问题1：110+115x=1，问题2：17+19x=1.

类比点 这组问题的“同质”之处是“工程问题”中的“1”，完成整项工作、飞完整段路程都是“1”，由具体的“1”到抽象的“1”是学生思维深刻性的提升.

教学小结 类比的依据是两个不同事物的相同属性，显性的属性容易察觉，但是本质、深层次的属性需要一定的挖掘能力.第三学段的数学学习，是具体形象思维向经验型抽象思维的培养阶段，此组比较，是学生从具体的事例，过渡到典型事例，再抽象出本质的活动，是学生认知行为的训练.

综上所述，学生解决问题时往往局限于具体情境，就事论事，不会从整体上把握和分析，难以实现向相似情境的迁移.基于问题解决的类比案例，从沟通联系的角度出发，在学生的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生有启发的案例，对相关问题进行探讨，是学生加强理解、提高技能、发展能力、培养态度的有效途径.

【参考文献】

[1]戴维·H·乔纳森.学会解决问题[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

[2]刘初喜.数学问题解决与课程教学[M].上海：华东理工大学出版社，2016.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2018.