半参数模型在开采沉陷预计中的应用

成 枢 朱玉明 马卫骄 高秀明 刘忠伟

（1.山东科技大学测绘科学与工程学院，山东青岛266590；2.山东省核工业二四八地质大队，山东青岛266041；3.山东泰丰控股集团有限公司王家寨煤矿，山东泰安271204）

由于参数模型具有很强的假设性，需要满足一些假设条件，比如：观测误差中只有偶然误差，平差模型线性化后的微小量可忽略不计等。所以，当参数假定与实际偏差较大时，平差模型的参数估值精度降低。由于参数模型的局限性，相关学者引入非参数模型理论。非参数模型取消了变量之间在函数关系形式上的假设，其函数模型表示任意的函数关系，因此放宽了函数形式的限制［1-3］，但是非参数模型的模型解释能力较低且观测数据的维度受到限制。因此，针对参数模型与非参数模型各自的局限性，相关学者将二者结合到一起构建了半参数模型。

在20世纪80年代，Engle等针对气候条件改变对电力需求变化的影响提出了半参数模型［4-6］。半参数模型作为一种重要的统计模型，数学模型中包含参数部分与非参数部分，克服了单一的参数模型与非参数模型的不足［7］。当观测值中存在无法忽略的模型误差时，半参数模型在数学模型方面相对于参数模型更符合客观实际；在数值求解方面可以分别求解参数向量、非参数向量和偶然误差，因此被广泛应用于测量数据处理中。

本研究采用矿区地表沉降实测数据建立半参数灰色Verhulst 模型，考虑到模型误差问题，灰色Verhulst 模型的时间响应序列的系数求取可以采用半参数模型，根据半参数模型估值准则设计不同计算方案构建半参数灰色Verhulst 模型，求解时间响应序列中的参数，并进行沉降预计结果对比和精度分析。

1 半参数灰色Verhulst模型

1.1 半参数模型

通常影响观测值的因素有很多，然而经典平差模型不考虑系统误差与粗差的影响。当模型误差无法忽略且其性态十分复杂时，可以在函数模型中加入一个待定量，用来描述观测量与影响因素之间函数关系不明确的部分，这种平差模型即为半参数模型［4，7］。

半参数模型的函数模型和随机模型分别为

式中，L 为n 维观测向量；X 为t 维参数向量；B 为列满秩设计矩阵；S 为n 维非参数向量；Δ 为n 维误差向量；为方差因子；P为Δ的权矩阵。

半参数模型在函数模型表达式中添加了非参数部分，相对于参数模型而言，在模型误差无法忽略时，半参数模型具有更大的优越性：在模型建立方面，数学模型与客观实际更为接近；在数值解算方面，可求出模型误差与偶然误差。

由式（1）可知，半参数模型的误差方程为

在最小二乘准则VTPV=min 下构造条件极值函数得到的法方程为

由于待定参数个数多于误差方程个数，因此基于最小二乘准则构建的半参数模型的法方程唯一解不存在，需要在VTPV=min基础上附加最优化准则，构成补偿最小二乘法则［8］：

式中，R 为正则矩阵；α 为正则化参数（或称为平滑因子），其主要作用是在极小化过程中，在二次型VTPV和起到平衡作用［9-10］。

根据式（2）和式（4）以及构造条件极值的拉格朗日乘数法，构造的目标函数为

式中，λ1为拉格朗日常数。

由式（6）可得：

结合式（2）和式（7），可得到基于补偿最小二乘估计准则的半参数模型误差方程的法方程：

由于矩阵R为正定矩阵，因此基于补偿最小二乘估计构建的法方程是正定可逆矩阵，法方程有唯一解，对式（8）求解可得：

式中，M为光滑矩阵；H为帽子矩阵。

正则矩阵选取根据实际情况，构造方法一般有时间序列法、距离法和样条函数法等；正则矩阵选取一般有L曲线法、信噪比值法、效率法等［7，12］。

当法方程系数矩阵接近奇异时，应当采用半参数岭估计准则：

式中，k 是在X 与V 的正则化参数，称为岭参数，岭参数的构造方法一般有L曲线法［7，13］、U曲线法［14-15］等，参数求解方法与式（6）相同，在此不做赘述；Q一般取单位矩阵。

1.2 灰色Verhulst模型

设原始监测数据序列为

通过原始数据累加弱化原始数据序列的波动性和随机性，生成1-AGO序列

根据GM（1，1）模型的建模方法，得到灰色Verhulst模型的一阶白化非线性微分模型为

式中，a,b为灰色Verhulst模型待计算参数。

若按最小二乘法，解得待求参数估值为

将参数估值a,b 代入微分方程求解得到灰色Verhulst模型的时间响应序列［16］：

最后还原数列得到模型的预测值：

从测量平差的角度分析，式（14）求取待求参数与参数平差的法方程求解形式相同。在只考虑偶然误差的情况下，可以采用最小二乘准则求解灰色Verhulst 模型一阶白化非线性微分方程中的参数最优估值。若模型误差不可忽略，可考虑采用半参数模型求解一阶白化非线性微分方程的参数估值，进而建立半参数灰色Verhulst模型进行预计。

1.3 半参数灰色Verhulst模型检验

建立半参数灰色Verhulst 模型时应当进行模型检验，验证所建立的模型是否符合实际情况。半参数灰色Verhulst 模型检验主要包括采用半参数模型求解一阶白化非线性微分方程中参数估值的假设检验以及灰色模型的精度检验。其中，半参数模型检验采用线性假设法［17］，灰色模型精度检验结果等级划分如表1所示［18］。

?

2 算例分析

2.1 试验数据

以某矿区地表沉降监测为例，跟据相关设计，矿区九采区共有5 个回采工作面，其中，7265 工作面回采走向长度D1=909 m，倾向长度D2=186 m，煤层厚度m=4.15 m，煤层倾角θ=0～12°（平均7°），倾斜面积168 334 m2，工业储量106 万t，工作面标高-678～-743 m，地面高程34.1～37.5 m，2017年2月中旬开采，2018 年1 月12 日回采结束，回采量88.2 万t，回采率85%。

依据《测量规程》和“三下”开采规范，结合九采区的覆岩岩性，选取岩移角值参数布设观测线。

7265 工作面观测期间，观测站97 号测点具有最大下沉速度Vmax，最大下沉值达到Wmax=1 241 mm。选取97 号沉降监测点的14 期观测数据得到的累计沉降值W（表2）建立预计模型。以原始数据为基础建立预计模型，并以最后4期数据进行预计值与实际值对比，作为精度检核依据。

?

2.2 计算结果对比及分析

若根据矿区沉降实测数据建立半参数灰色Verhulst 模型，首先要判定系数矩阵B 的复共线性［19-20］。经计算，系数矩阵B 存在较强的复共线性，因此半参数模型中估值准则只需要考虑半参数岭估计准则。

基于半参数灰色Verhulst 模型在无粗差数据时设计了以下3种计算方案：①灰色Verhulst模型；②半参数灰色Verhulst 模型，其中正则矩阵采用时间序列一阶差分法；③半参数灰色Verhulst 模型，其中正则矩阵采用时间序列二阶差分法。正则化参数按Xu函数法确定取值α=2.436，岭参数按U 曲线法确定取值k=0.334。经过不同方案计算，并以最后4 期的实测值作为预计效果的评价标准，得到了不同平差模型的预计结果以及残差值如表3所示。

?

由表3可知：通过采用不同半参数回归模型对97号监测点进行累计沉降预计时，方案1预计误差绝对值的最大值为33 mm，方案2 预计误差绝对值的最大值为15 mm，方案3 预计误差绝对值的最大值为34 mm，3 种方案的均方误差经计算分别为37.68 mm、14.82 mm 和35.92 mm。因此方案2 建立的半参数灰色Verhulst 模型求取时间响应式参数的精度最高，在3 种方案中的均方误差最小，相应的预计下沉曲线更加符合实测数据的变化趋势。

由表3 中方案2 和方案3 对比可知：当正则矩阵采用时间序列法确定时，方案2得到的预计结果优于方案3。因此，本次实测数据中采用半参数模型的估值准则计算灰色Verhulst 模型一阶白化非线性微分方程的待求参数时，应选择时间序列一阶差分法确定的正则矩阵。

在上述分析的基础上，本研究进一步对实测数据进行半参数模型检验与灰色模型精度检验。由线性假设法计算可知，统计量F=87.642。由F分布表可知：F ＞F0.05( 14, 13 )＞F0.05( 15, 13 )=2.53，因此非参数向量S 为非零向量。同时，经计算相对误差q=0.032，方差比C=0.394，小误差概率P=0.615，对照灰色模型精度检验表（表1）可知：灰色模型精度满足Ⅱ级（优）标准。因此，矿区地表沉降实测数据适用于构建半参数灰色Verhulst模型。

3 结 语

采用矿区沉降实测数据进行了半参数灰色Verhulst 模型的算法验证，基于半参数模型理论和矿区沉降实测数据建立了半参数灰色Verhulst 模型。针对灰色Verhulst 模型的时间响应序列的系数求取问题，根据正则矩阵、正则化参数以及岭参数的选取方法，设计了多种方案计算半参数灰色Verhulst 模型的参数估值，并进行了沉降预计结果对比和精度分析。在上述分析的基础上，采用模拟数据与矿区沉降实测数据进行了模型检验。检验结果表明：矿区沉降实测数据适用于半参数灰色Verhulst 模型。实际应用中，关于地表沉陷动态预计的时间函数还有Knothe时间函数、Logistic 时间函数等，对于不同地表沉陷动态预计的时间函数可进行进一步讨论。