多圆柱上加权Bergman 空间到Bloch 型空间的加权Cesàro 算子

赵艳辉，廖春艳，邓春红，吴修云

(1.湖南科技学院理学院，湖南永州425199; 2.湖南科技学院理学院计算数学研究所，湖南永州425199)

0 引 言

表示Un上的加权Bergman 空间Αpα(Un)，其中

dv 表示Un上正规化的Lebesgue 体积测度，即v(Un)=1,dv(z)也可表示成

在单位球上, 文献[1-5]讨论了混合模空间、μ-Bloch 空间、Bloch 型空间和Dirichlet 型空间上的加权Cesàro 算子的有界性和紧性问题；文献[6-8]讨论了单位球Bergman 空间上的复合算子和Cesàro 算子的有界性和紧性问题。 记定 义Un上的加权Cesàro 算子Tg为

则Tg是线性算子。在多圆柱上, 文献[9-10]讨论了从Bergman 空间到Bloch 空间的加权复合算子的有界性和紧性的充要条件。文献[11]讨论了加权Bergman 空间上的复合算子的有界性和紧性问题。对于多圆柱上Bergman 空间上的加权Cesàro 算子的有界性和紧性问题尚未见结果。本文的主要工作是在Cn中的多圆柱上给出Tg为加权Bergman 空间到Bloch 型空间的有界算子和紧算子的充要条件。文 中 均 假 定 α=(α1,α2,…,αn),αj＞-1,j=1,2,…,n；c 表示与变量z,ω 均无关的正常数，不同地方可代表不同的值。

1 有关引理及证明

引理1[9]设，则

引 理2设0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(Un)，则Tg是Αpα(Un)到Βq(Un)上的紧算子的充要条件是:对Αpα(Un)中在Un上内闭一致收敛于0 的任意有界序列{ fm}，当m →∞时，有||Tg( fm)||Βq→0。

证明由引理1 和Montel 定理，按紧算子的定义便可证得。

2 主要结果及证明

定 理1设0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(Un)，则Tg是Αpα(Un)到Βq(Un)上的有界算子的充要条件是:

证明先证充分性。任取z ∈Un,f ∈Αpα，由引理1 及式(1)，有

又Tgf(0)=0, 所以Tg是有界的。

再证必要性。设Tg是Αpα(Un)到Βq(Un)的有界算 子，取 函 数

则

由文献[12]中的定理1.12, 有

所以hω∈Αpα, 且||hω||p,α=1。

由Tg的有界性，知

令z=ω,有

由ω 的任意性,知式(1)成立。定理1 得证。

对于单位圆盘的情形，不难得到以下结论：

推论1设0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(D)，则Tg是Αpα(D)到Βq(D)上的有界算子的充要条件是: