一类完全四阶边值问题解的存在性

陈雪春，李永祥

（西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州730070）

考虑完全四阶边值问题(BVP)

解的存在性，其中f:[0,1]×R4→R 为连续函数。边值问题(1)描述了两端简单支撑的静态弹性梁形变的数学模型。其中u′(t)表示隅角，u′(t)表示弯矩，u′′(t)表 示 剪 切 力 刚 度，u(4)(t)表 示 密 度 刚 度。根据两端点的受力情况，这种描述又被分为若干类型的边值问题。而问题(1)在物理学中有重要的理论意义，得到了该类问题特殊情形的一些结果[1-13]。

对非线性项不含任何导数项的简单四阶边值问题：

已有一些研究成果[1－4]。

对非线性项仅含弯矩项u′(t)的特殊四阶边值问题：

文献[5-8]在非线性项满足适当的增长条件下，运用不动点定理获得了BVP(3)解的存在性。文献[9-10]运用上下解方法讨论了BVP(3)解的存在性。文献[11-12]在非线性项非负的情形下，运用锥上的不动点指数理论和Krasnoselkii 不动点定理讨论了BVP(3)正解的存在性。

对完全四阶边值问题(1)，由于u′(t)与u′′(t)变号引起的困难，上述研究特殊边值问题(3)的方法不再适用，已有的研究工作很少。只有LI 等[13]在边值问题(1)的非线性项满足一次增长条件下运用Leray-Schauder 不动点定理研究了BVP(1)解的存在性和唯一性。

受上述研究的启发，本文将文献[9-10]中关于边值问题(3)的上下解方法推广到一般边值问题(1)。相比已有研究，本文对非线性项的增长条件不作任何限制，也不假定非负的情形，在f (t,x0,x1,x2,x3)关于x3满足Nagumo 型条件下，运用截断函数技巧和上下解方法讨论了BVP(1)解的存在性。

1 主要结果

定义1设v0(t)∈C4(I)，若v0(t)满足

则称v0(t)为边值问题(1)的下解。若式(4)中均取反向不等式，则称其为上解。……