基于逆可靠度法的钢管混凝土拱肋稳定性分析

袁腾文

（山西省交通规划勘察设计院，太原030012）

0 引 言

近二十多年中，钢管混凝土拱桥在我国得到了大量的应用［1］。拱肋以受压为主，稳定性验算是拱肋设计中的关键问题。随着钢管混凝土拱桥跨径的不断增大，拱肋的稳定性问题越来越突出。

一般通过确定性模型计算的拱肋稳定安全系数来确保拱肋不发生失稳破坏［2-5］，但没有考虑桥梁结构中存在的不确定性因素［6］（如材料特性、偏心距、长细比、外荷载等）。因此，实际的拱肋稳定性安全度是未知的。

可靠度分析为钢管混凝土拱肋稳定性分析时考虑桥梁结构中的不确定性因素提供了有效的方法。许福友等［6］分析了丫髻沙大桥在某荷载工况下拱肋5 个关键截面的稳定性可靠度。滕启杰等［7］采用JC法分析了一窄钢管混凝土拱桥拱肋的稳定性可靠度。林道锦等［8］采用可靠度随机有限元分析了某钢筋混凝土拱桥面内稳定性可靠度，并进行了灵敏度分析。

目前的桥梁设计规范通过定义目标可靠指标来确保结构安全，因此需要通过校正拱肋稳定安全系数来保证事先给定的目标可靠度指标，从而建立起目标可靠指标和拱肋稳定安全系数间的联系。逆可靠度分析是给定目标可靠指标，基于已知的极限状态方程反求未知参数，从而使得未知参数和目标可靠指标相对应。国内外学者对逆可靠度法在工程中的应用进行了一些研究。Cheng等［9］将逆可靠度法运用于评估大跨度悬索桥主缆安全系数。Babu 等［10］将逆可靠度法运用于钢板桩墙的设计。苏永华等［11］采用逆可靠度法评估了边坡的稳定性。方砚兵等［12］采用逆可靠度法计算了隧道支护抗力。虽然逆可靠度法已经用于解决多种工程问题，但将逆可靠度法用于评估钢管混凝土拱肋稳定安全系数的文献较少［13］。

本文以钢管混凝土拱肋为研究对象，基于一次逆可靠度算法对钢管混凝土拱肋的局部稳定安全系数进行评估，从而建立起具有目标可靠指标和稳定安全系数的拱肋稳定性评估方法。

1 逆可靠度方法

1.1 逆可靠度问题

逆可靠度分析是给定目标可靠指标，基于已知的极限状态方程反求未知参数。文献［14］将逆可靠度问题定义为:

式中:u为标准正态随机变量；βt为目标可靠指标；∇uG(u'θ)为梯度算子；θ为未知参数；G(u'θ)为功能函数。

1.2 一次逆可靠度算法

针对单一参数的逆可靠度问题，文献［15］提出了一次逆可靠度算法（IFORM），基本思路为:给定βt，在满足的条件下求解未知参数。

由FORM 基本原理可知，标准正态随机变量u在验算点处满足式（4）:

目标可靠指标由式（5）计算:

联立式（4）和式（5），可得:

假定未知参数θ的迭代初值为θ0，并将极限状态方程在θ0处进行泰勒级数展开:

由式（7）可得:

给定随机变量u和未知参数θ的迭代初值为u0和θ0，计算∇uG值代入式（6）得到更新的u1，继而根据式（8）得到更新的θ1，以迭代更新的u1和θ1作为新的迭代初值，如此反复迭代直至满足式（9）所示的收敛条件:

式中，ε为收敛误差，通常可取0.000 1。

2 基于逆可靠度的拱肋稳定性分析法

2.1 极限状态方程

基于逆可靠度法的钢管混凝土拱肋稳定安全系数计算实际上就是给定目标可靠指标反求稳定安全系数，将稳定安全系数定义为

式中:R为拱肋稳定承载力；S为作用效应；θ为稳定安全系数。

根据式（10）建立式（11）所示的极限状态方程:

2.2 实施步骤

基于一次逆可靠度算法的钢管混凝土拱肋稳定性分析的计算步骤如下:

步骤1:输入目标可靠指标βt，收敛误差ε，假定随机变量初值和稳定安全系数初值，随机变量初值一般可取均值，初始化迭代次数j=1。

步骤2:计算极限状态方程在迭代值处的∇uG，并按式（6）更新u。

步骤3:计算G(u0'θ0)和并按式（8）更新稳定安全系数θ。

步骤5:计算式（9）所示的收敛条件，若满足，则结束计算，输出结果；否则令j=j+1，返回步骤2继续计算。

3 实例分析

钢管混凝土拱肋在受到弯矩、轴力、剪力共同作用时，可以简化处理成偏心受压柱，整体承载能力计算公式为［7］

式中:fci为混凝土抗拉强度设计值；Aci为钢管内混凝土横截面面积；θi为钢管混凝土的套箍指标，θi的计算公式为

式中:fai为钢材强度设计值；Aai为钢管横截面面积。

依据式（12）-式（14），拱肋稳定承载力R可表示为

式中:X1和μ1为考虑长细比、偏心率和计算模式后的折减系数随机变量和均值；X2和μ2为混凝土强度随机变量和均值；X3和μ3为钢材强度随机变量和均值。

以文献［7］中的钢管混凝土拱桥为例，文献［7］中给出了拱肋稳定性分析时在某荷载工况下拱肋5 个关键截面的极限状态方程。按本文的求解思路，将稳定安全系数引入到已有的5 个极限状态方程中，拱脚截面、L/8 截面、L/4 截面、3L/8 截面和跨中截面的极限状态方程分别为

式中:X4为作用效应随机变量；θ为稳定安全系数。

四个随机变量的分布类型及统计参数见表 1［6-7］。

表1 分布类型及统计参数Table 1 Distribution type and statistical parameters

3.1 稳定安全系数求解

参照《公路工程结构可靠度设计统一标准》（GB/T 50283—1999）［16］，按结构安全等级和构件破坏类型对目标可靠指标进行取值，目标可靠指标分别取3.7、4.2、4.7 和5.2，收敛误差ε=10-4，拱肋5 个关键截面在不同目标可靠指标下稳定安全系数的计算结果如图1所示。

图1 可靠度水平对稳定安全系数的影响Fig.1 Impact of reliability level on stability safety factor

由图1 可知:随着目标可靠指标逐渐增加，各截面的稳定安全系数均呈递减趋势，说明不同的目标可靠指标，拱肋稳定性所需的安全储备是不同的，因此稳定安全系数各异；目标可靠指标取值对稳定安全系数有较大影响，因此在实际计算时应合理的确定目标可靠指标；3L/8 截面的稳定安全系数最大，其次是L/4 截面，拱脚截面的稳定安全系数最小。

3.2 验证

将逆可靠度分析求得的稳定安全系数作为已知参数，采用FORM 方法求得可靠指标的计算结果见表2。

表2 FORM结果Table 2 Results of FORM

由表2 可知，采用FORM 求得的可靠指标与逆可靠度分析时给定目标可靠指标相差很小，说明一次逆可靠度算法可以满足工程精度要求。

3.3 参数分析

3.3.1 随机变量均值的影响

为了研究随机变量均值对稳定安全系数的影响，以跨中截面为例，取目标可靠指标βt=3.7，收敛误差ε=10-4，分别令各随机变量均值变化-10%～10%，随机变量变异系数不变，求得的稳定安全系数如图2所示。

图2 随机变量均值与稳定安全系数的关系Fig.2 Relationship between mean value of parameters and stability safety factors

由图2可知:随着折减系数X1、混凝土强度X2和钢材强度X3均值逐渐增加，稳定安全系数均呈递增趋势；随着作用效应X4均值逐渐增加，稳定安全系数呈递减趋势；折减系数X1对稳定安全系数影响显著，混凝土强度X2和作用效应X4对稳定安全系数的绝对影响程度相当，钢材强度X3对稳定安全系数影响相对较小。

3.3.2 随机变量变异系数的影响

为了研究随机变量变异系数对稳定安全系数的影响，以跨中截面为例，取目标可靠指标βt=3.7，收敛误差ε=10-4，分别令各随机变量变异系数变化-10%～10%，随机变量均值不变，求得的稳定安全系数如图3所示。

图3 随机变量变异系数与稳定安全系数的关系Fig.3 Relationship between variability of parameters and stability safety factors

由图3 可知:随着随机变量变异系数逐渐增加，稳定安全系数对着随机变量变异系数的逐渐增大而呈递减趋势；稳定安全系数对折减系数X1最敏感，其次是混凝土强度X2，稳定安全系数对钢材强度X3最不敏感。

4 结 论

提出了一种基于逆可靠度分析的钢管混凝土拱肋稳定安全系数的评估方法，通过一次逆可靠度算法将目标可靠指标和稳定安全系数联系起来，求得的稳定安全系数满足预先给定的目标可靠指标，同时考虑了结构中存在的不确定性因素。通过实例分析，得出以下结论:

（1）随着目标可靠指标的逐渐增加，拱肋稳定安全系数呈递减趋势，不同的目标可靠指标，拱肋稳定性所需的安全储备不同；

（2）折减系数对拱肋稳定安全系数的影响显著，钢材强度对拱肋稳定安全系数的影响相对较小。