高温下钢筋混凝土梁损伤识别研究

高立堂 许盼让 褚桂勋

（青岛理工大学土木工程学院，青岛266033）

0 引 言

普通混凝土梁的跨高比一般不小于5 时能较好地符合受弯机理和平截面假定，在承受垂直于中面的横向荷载时将产生竖向挠曲变形，并在火灾热力耦合作用下产生横向振动。

陆洲导等［1］指出火灾对钢筋混凝土结构造成的损伤通常是二次损伤，且具有空间随机性。与弹簧-裂纹梁损伤不同，火灾造成的损伤往往是有着明显的界限，可通过试件的表面特征对损伤位置有个定性分析。李卫等［2］对混凝土在不同温度作用下的表面特征变化作出分析，发现混凝土低于300 ℃时与常温下无异，温度升至300 ℃后，随着温度升高，混凝土表面颜色由青灰色变为灰白色，继而变为暗红色，伴随着表面的损伤现象愈加严重。另外火灾损伤多表现为大面积片状近似均匀性损伤，且其裂缝随温度升高无规律性发展，可简化其为长度方向上均匀化损伤、高度方向上梯度化损伤模型，避免了无法利用频率参数识别对称损伤位置的局限性［3］。

1 横观各向同性简支梁的振动

横观各向同性是构件内任意平面上的材料性能在各个方向都相同，是介于各向异性和各向同性间的一种假定，起初应用于板式构件。基于经典三维理论，应力应变关系[σ]=[C][ε]有 21 个独立变量（[C]为刚度矩阵），考虑到横观各向同性体将减少至5个，使得计算大为简化。

梁在实际火灾过程多以底面或半侧面受火，本文以底面受火研究其损伤特性。梁底面受火时其温度场是空间时间的函数，导致混凝土的热惰性在火灾作用下不再是均质材料，其弹性模量沿高度呈现非线性梯度损伤且随受火时间增加而劣化。由于火灾均匀大面积近似片状的损伤特点，将梁沿截面高度分割，分割厚度趋于无限小时可认为是横观各向同性的薄梁，由此简支梁可视为考虑了剪切变形和转动惯量影响的单向厚板振动。

2 基于厚板积分理论对火灾损伤梁的振动分析

根据厚板积分理论假定［4，6］:①水平位移偏离于直法线部分沿截面几何相似；②挤压变形沿截面几何相似，建立如图1所示的坐标系。

图1 厚板积分理论横观各向同性薄梁积分单元示意图Fig.1 Schematic diagram of the integral unit of transversely isotropic thin beam with thick plate integral theory

首先根据假定（1）从三维角度分析有:

式中，第二部分是广义剪切角ψ沿厚度分布函数f（z）引起的位移变化，再由几何方程得:

带入物理方程有:

再由假定（2）得:

式（6）、式（7）中第二部分为横向荷载q(x'y't)沿挤压变形函数B(z)引起的附加应力。满足B(h/2)=0；B(-h/2)=-1。 将f(z) 表 达 式 带 入 式（1）、式（2）得:

再由几何方程求取应变:

带入物理方程得:

将应力沿厚度积分得:

将三维动平衡方程沿厚度方向积分得到内力动平衡方程。

由式（16）-式（21）得基本动力方程:

消去βx，βy得到关于w的独立方程:

对于简支梁满足自由边界条件为零，一般关于x的偏导数忽略不计，且βx=Mx=MxY=Qx=0，有:

假定式（25）相应振型W（y）和Φ（y），则有:

根据式（28）设W（y）的一般解形式为

确定两个实根为

由两端边界条件y=0'W(0)=0'Φ(0)=0；y=l'W(l)=0'Φ(l)=0确定其中待定系数。

再由行列式为零及忽略高阶影响得:

3 火灾下钢筋混凝土梁的刚度演变规律

3.1 高温下梁刚度与温度的关系

梁底面受火时温度场符合一维热传导理论，将其解析式代入刚度表达式并沿高度积分，得刚度与时间关系。

一维热传导方程:

定 义 任 意 时 间则T(z)=，此时温度场只是梁高的函数。建立如图2所示坐标系。

图2 受火梁积分计算模式Fig.2 Calculation mode of beam integral by fire

沿梁高将梁等分成n个薄梁，当n足够大时，等分后的薄梁单元可视为均质构件，即弹性模量抗压强度等性能均匀。定义薄梁刚度ΔD=其中Ezi表示高温下t时刻梁内部距离z=0 的距离为Zi处混凝土的弹性模量。

根据文献［7］中的高温下混凝土弹性模量与温度的关系:

对n个单元求和得整体刚度D，当n足够大时D可视为沿梁高的连续函数，即:

利用分部积分法求解，定义D=D1-D2。

实际火灾过程梁尺寸基本不变，而温度随时间变化，由温度场表达式求梁高关于时间和温度的解析式将标准升温曲线T(g)=345 log10(8t+1)+T0代入得刚度关于时间的函数。

为方便书写定义:

则高温下梁刚度与温度场的关系为

由于标准升温曲线并非实际升温过程，可通过等效爆火时间进行换算，马忠城等运用热荷等效法、能量法等解决了标准升温曲线与实际火灾的等效问题。

3.2 高温下梁刚度与中性轴改变的关系

火灾荷载造成材料的损伤，引起中性轴上移，对梁的受力性能和振动特性造成影响。E. El-Dardiry，T.Ji［8］通过对组合楼板的理论分析，发现中性轴的改变对振动特性影响较大，会使基频降低，振型阶次发生变化。

由功能梯度理论［9］得中性轴上移高度:

将h关于时间表达式h(t)代入上式得到中性轴上移引起刚度变化函数可直接进行刚度叠加。

3.3 高温下梁刚度与整体配筋率的关系

钢筋混凝土构件中钢筋对其动力特性的影响主要是质量变化和对刚度的贡献［10］。实际上钢筋对梁刚度的影响是考虑了纵向钢筋和箍筋的骨架效应的综合影响。

式中:As表示纵向钢筋总面积；ρ表示梁截面整体配筋率；c表示钢筋中心到中性面的距离。

计算可以得到刚度的配筋率影响系β=1+则最终得到温度与钢筋综合影响下梁刚度D=β(DE+DZ)。

4 数值模拟

利用ABAQUS 有限元对素混凝土梁模型进行上述理论的模拟验证。对于混凝土，几何建模中采用六面体八节点单元建模，并将模型尺寸定为200 mm×300 mm×2 000 mm；界面和材料属性模块中定义混凝土强度等级为C30，密度2 350 kg/m3，泊松比0.2，建立混凝土的塑性损伤模型，设置好相关参数取值；然后再分析步模块建立位移-转角的类型，并在模型两端设置成简支约束，接着建立一个提取频率的分析步；最后对模型划分网格如图3所示。

图3 素混凝土梁模型Fig.3 Concrete beam model

对素混凝土模型提交分析作业并经后处理得到其前四阶振型如图4-图7所示。对模拟得到的混凝土梁振动频率与厚板积分理论得到的振动频率值对比图如图8所示。

图4 一阶模态振型图Fig.4 Modal pattern diagram of the 1st order mode

图5 二阶模态振型图Fig.5 Modal pattern diagram of the 2nd order mode

图6 三阶模态振型图Fig.6 Modal pattern diagram of the 3rd order mode

图7 四阶模态振型图Fig.7 Modal pattern diagram of the 4th order mode

图8 前三阶模拟值与理论值Fig.8 Previous three-order simulation values and theoretical values

对比前三阶自振频率的理论值和模拟值可以看出，对于一、二阶自振频率，理论和模拟得出的结果基本吻合，说明基于厚板积分理论的损伤识别可以适用于该试验。而第三阶的自振频率，模拟与理论相差较大，一方面是因为模拟分析时将混凝土视为近似线性摄动，忽略了实际损伤造成的非线性；另一方面是跟理论简化条件有关，理论将其视为杆系结构，忽略了钢筋对动力特性的影响，而对于实际结构振动时，振动特性比较复杂，导致理论偏差较大；另外，数值模拟过程是迭代过程，阶次越高，迭代误差越大，造成与理论值的差异就越大。

5 结 论

本文对火灾下钢筋混凝土简支梁进行了动力损伤理论研究，得出以下结论:

（1）利用厚板积分理论将梁沿梁高划分成无数单元，等效为横观各向同性薄梁，再对其进行积分得到梁的自由振动方程和解析解。

（2）推导了钢筋混凝土简支梁的刚度变化规律，考察了梁的刚度与温度变化、中性轴上移、配筋率的关系。

（3）利用Abaqus 有限元软件模拟出自振频率，并通过对理论和模拟值对比发现:前二阶频率在理论计算结果与数值模拟结果具有一致性。但对于高阶模态相差较大，可以用于后续研究。