基于时域分析法的装配式结构减震设计与分析

李鹏飞 关 群 范传祺

（合肥工业大学土木与水利工程学院，合肥230009）

0 引 言

预制构件间的连接部位力学性能差是装配式结构的缺陷之一；规程［1］指出，采用干式节点连接的结构总体刚度低于现浇结构。虽然一些学者对各自设计和改进的连接节点做过大量研究并且获得了良好的力学性能［4-5］，但实际工程中的连接节点即使在承载力满足设计要求的情况下，仍然是抗震分析和计算中最薄弱的部位。这主要是由于构件连接部位的后浇混凝土和预制混凝土在受力时交界面上容易出现劈裂面并且会加快其扩展，表现出显著的脆性［6］；此外，国内目前装配式混凝土结构连接部位的误差较大，施工质量难以保证。因此仅依靠结构柱和剪力墙等抗侧力构件并不能使结构达到抗震设计的要求，必须对结构进行减震设计方能达到抗震的目标。在减震设计方面，甘凤玲等［3］采用规范提出的应变能估算公式计算附加等效阻尼比的精度虽然较高，但是以能量作为减震量指标计算较为不便，而且装配式结构连接节点受力性能及破坏特征较为复杂，以能量指标为该种结构进行减震设计并不合适，从工程设计实用的角度讲，最好能以位移等易于测量和计算的指标进行减震设计。

本文基于线弹性设计，将结构的简化地震反应分析模型视为一个控制系统，结合状态空间法直观、简洁的优势［7］和传递函数法参数优化方面的特点，根据传递函数模型和状态空间控制模型能相互转化的原理［10］，采用时域分析法，确定装配式混凝土结构附加刚度和附加阻尼等参数的最优设置，对其进行减震设计。

1 减震措施的选择与论证

与现浇结构相比，由于装配式结构的连接节点具有显著的脆性破坏特征，在抗侧刚度相同的前提下，竖向构件顶部的位移限值要更小。从结构抗震设计的角度来看，既要保证装配式结构能承受与同等情况下的现浇结构相同的地震作用，又要让竖向构件顶部的位移限值低于其脆性破坏的要求，就必须增大结构各层的抗侧刚度，并且只能基于线弹性分析对结构抗侧力体系进行设计。

此外，结构在承受动力荷载时如果振动频率过高会导致结构连接部位产生过度的疲劳荷载，增大其脆性破坏的可能性。根据结构动力学原理，在结构抗侧刚度确定的前提下，采用附加阻尼来增大结构体系阻尼的措施，不仅能降低结构的自振频率，还能减小结构在共振情况下的振幅，避免连接部位发生脆性破坏。

装配式结构连接部位呈现出的脆性破坏特征，表明结构在受到地震作用时，既需要采用附加刚度措施来控制竖向构件的水平位移，又需要采用附加阻尼措施来降低结构的自振频率和振幅大小，消耗地震输入结构的能量，以此达到保护结构体系的目标。因此，装配式混凝土结构需要的阻尼器不仅要附加刚度和附加阻尼系数明确，利于减震设计的把控，还要在地震发生时就能发挥耗能减震的作用，减小后浇连接节点的疲劳破坏程度。

综合以上减震措施的论证，在具备附加刚度和阻尼功能的阻尼器中，金属耗能阻尼器的附加刚度和阻尼系数等参数不太稳定；摩擦阻尼器只有在达到一定形变量后才能产生摩擦阻尼；相比之下，黏弹性阻尼器则满足以上各种要求，大、小震的情况下均能起到作用，是最符合装配式混凝土结构减震的一种措施。

2 结构控制系统的建立

根据减震措施的选择结果，建立如图1 所示的结构振动分析模型，其中的黏弹性阻尼器计算模型采用最常用的开尔文模型［9］，其表达式如下:

图1 结构振动分析模型Fig.1 Model for structural vibration analysis

根据结构动力学原理，得到图1 所示结构的运动微分方程:

式中:M，C，K分别表示结构本身的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；Ka，Ca分别表示设置在结构中的黏弹性阻尼器提供的附加刚度矩阵和附加阻尼矩阵分别表示结构在水平方向的相对位移、相对速度、相对加速度和地面运动的加速度；{l}表示一个n×1阶的单位列向量。

控制的任务实际上就是形成控制作用的变化规律，使得不管是否存在扰动对象都能得到所期望的行为［10］。将结构视为一个系统，在地震作用下，各楼层产生位移、速度和加速度的过程可以视为系统在受到地震等输入激励后，输出各楼层的位移、速度和加速度等响应，而附加阻尼和附加刚度对结构地震响应的影响则可以视为对系统的控制。由结构、附加阻尼和附加刚度共同构成的振动分析模型可以视为一个结构控制系统。因为附加阻尼和附加刚度是通过输出响应来达到对系统的控制作用，所以结构控制系统是一个闭环控制系统，如图2所示。

图2 结构控制系统Fig.2 Control system of the structure

状态空间模型是一种以时域分析为主的数学模型，着眼于系统的内部状态和内部联系，对于需要输出各楼层的位移、速度及加速度等状态变量的结构控制系统而言具有直观简洁和易于理解的优点。传递函数模型是一种在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数所描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，对基于参数对系统进行调节等方面具有明显优势［10］。在一定条件下，状态空间模型和传递函数模型可以相互转化，而对它们的输入和输出没有影响，因此可以采用传递函数模型的参数控制思想来对状态空间模型构成的控制系统进行控制和调节。

在图2 所示的结构控制系统中，M，C，K模块可以视为反映原结构特性的前向传递函数。由于结构输出响应包含各楼层的位移xi(t)、速度和 加 速 度等多个输出量，因此M，C，K模块应采用具有多输入、多输出特性的状态空间模型建模，其数学表达式为

式中:x，y、u分别表示输出向量、状态向量和输入向量；A，B，C和D分别表示状态矩阵、控制矩阵、输出矩阵和联系矩阵，对式（2）做数学变换，得到式（3）中原结构系统各个矩阵和向量分别为

其中，0 和I分别为n×n维零矩阵和单位矩阵，n表示结构的层数。

Ka，Ca模块在结构控制系统中可以视为反映附加刚度和附加阻尼体系特性的反馈传递函数。由于Ka，Ca模块在控制系统中是通过调整结构系统刚度和阻尼等参数起到控制状态矩阵的作用，因此式（3）的状态矩阵A加入黏弹性阻尼器后应该为

根据图2 所示控制系统的结构图，对式（4）的矩阵进行分离，得到Ka，Ca模块的控制矩阵为

其中，Aa亦可作为M，C，K模块的反馈传递矩阵。至此结构控制系统建立完毕。

3 结构控制系统的时域分析

结构控制系统是基于结构振动分析模型的受力特性提出的运动微分方程转化为状态空间模型所建立的。根据振型反应分解法的原理，模态坐标X(t)是一种广义的位移坐标，它和物理位移坐标x(t)存在以下关系:

从矩阵理论的角度讲，模态坐标X(t)经过线性变换后得到物理坐标x(t)；由于是一个正交矩阵，因此的逆矩阵也是一个正交矩阵，并且，式（6）也可以表示为

所以也可以认为物理坐标x(t)经过线性变换后得到模态坐标X(t)。因此，既可以认为各楼层产生的位移xi(t)是由各阶处于独立的二阶系统之下的振型坐标Xi(t)经过线性变换而得，也可以认为各阶振型坐标Xi(t)是由各楼层基于独立的二阶系统产生的位移xi(t)经过线性变换所成。

时域分析法是以拉普拉斯变换为工具，从传递函数出发，直接在时间域上研究自动控制系统性能的一种方法，它对系统的分析结果直接而全面；而时域响应是系统在外部输入作用下的输出过程［10］。地震作用对于结构控制系统而言属于外部扰动输入，单位阶跃信号是一种能根据其响应评价系统暂态特性和稳态特性的典型输入，而促使结构控制系统对输入的设定值能快速反应和对输入或产生的扰动能快速稳定是结构减震设计的目标，因此，采用单位阶跃信号来测定结构系统的性能，调整结构系统的刚度和阻尼，对装配式结构进行减震设计是可靠合理的。

单自由度欠阻尼(0＜ξ＜1)结构振动系统属于典型的二阶系统［8］，研究其在地震作用下的响应特性，采用单位阶跃信号输入时的运动微分方程可以表示为

或

其中，m、c、k分别表示单自由度系统的质量、阻尼和刚度；ξ、ω分别表示单自由度系统的阻尼比和固有频率。

式（10）所表示的物理意义即为单自由度欠阻尼系统基于地震作用分析的单位阶跃信号输入的响应，从该表达式的组成结构来看，典型的单位阶跃响应（响应曲线图如图3 所示）乘于放大系数-m k后即可得到单自由度系统的单位阶跃响应（响应曲线图如图4所示），该放大系数-m k则能反映系统响应稳定时对输入量的放大程度［8］。通过采集单自由度系统单位阶跃响应曲线图上相隔p个周期的波谷x值，根据阶跃响应曲线对数衰减率的含义按下式计算阻尼比ξ:

式中:j表示阶跃响应曲线上的第j个波谷；xj，xj+p，-m k分别可以在得到各层单位阶跃响应曲线后从中提取出来用于各层ξi的计算。

图3 典型单位阶跃响应Fig.3 Typical unit step response

图4 单自由度系统单位阶跃响应Fig.4 Unit step response for single degree-of-freedom system

对于尚未附加阻尼的结构系统，建立其状态空间模型，基于地震作用分析，采用单位阶跃信号输 入，即，所获得的各楼层位移响应xi(t)可以视为一个独立单自由度欠阻尼结构系统的响应，并且所有楼层位移的物理坐标x(t)经过线性变换得到模态坐标X(t)。采用时域分析法，将每个楼层的单位阶跃响应视为独立单自由度欠阻尼结构的二阶系统响应，根据每条响应曲线图中获得的相隔p个周期的波谷x值，计算出每个楼层视为独立二阶系统响应分析时的阻尼比为调整结构系统的阻尼进行减震设计做好准备。

4 基于时域分析的结构减震设计

装配式混凝土结构的连接部位具有显著的脆性破坏特征，和同等条件下的现浇结构相比，在层间抗侧刚度相同的情况下，抗侧构件层间位移达到开裂位移xc时即可认定失效。要保证装配式混凝土结构能承受与同等条件下的现浇结构相同的地震作用限值fu，则需要通过增大结构各层的层间抗侧刚度k，才能保证结构在线弹性变形范围内达到此目的。据此可以得到图5 所示层间附加刚度ka的计算原理图和表达式:

其中，fu(XJ)，fu(ZP)分别代表同等条件下的现浇结构和装配式结构在地震作用下的层间抗侧承载力，在设计工作中，fu(XJ)可按规范［2］第 6.2 节中剪力设计值的计算方法计算所得剪力值的0.9倍来取［12］，fu(ZP)可以根据各层竖向构件上、下两端达到开裂弯矩Mcr时，取其截面割线抗弯刚度 0.85EcI［11］，按下式计算:

式中:EcI表示截面的初始切线抗弯刚度；l表示竖向构件的长度；xc，xy(e)，xy(p)分别代表同等条件下的现浇结构在地震作用下的开裂位移、基于弹性分析时的屈服位移和基于弹塑性分析时的屈服位移，其中xc可按线弹性法及截面抗弯刚度为0.85EcI计算［11］。

图5 装配式混凝土结构层间附加刚度ka计算原理图Fig.5 Calculation schematic diagram for added stiffness between layers of precast concrete structures

对于n层的装配式混凝土结构，计算得到各层的层间附加刚度ka(i)后，可以形成结构控制系统反馈传递矩阵Aa中的附加刚度矩阵Ka:

图6 结构初步控制系统和附加刚度前后的单位阶跃响应Fig.6 Preliminary control system of the structure and unit step response for the condition of adding stiffness before and later

结构各层抗侧刚度达到限制层间位移值的目的后，需要增大结构各层阻尼ca(i)来降低结构的固有频率ω，抑制自振产生的扰动影响。要使结构控制系统达到“对外界输入的响应既快又稳”的目标，则需要结构各层都能达到临界阻尼状态，所表现出的单位阶跃响应曲线如图7 所示。根据模态坐标Xi(t)和物理坐标xi(t)之间的线性变换关系，将每个楼层的单位阶跃响应视为独立单自由度欠阻尼结构的二阶系统响应，从每条响应曲线图中计算出每个楼层的阻尼比ξi'。根据临界阻尼的物理含义，附加刚度后的每个楼层基于独立二阶系统响应分析时的附加阻尼比ξ'a(i)的计算式为

每个楼层的ξ'a(i)虽然是基于独立二阶系统响应分析得到的附加阻尼比，但是从本质上讲，各层的附加阻尼比ξ'a(i)是互相关联的。实际上真正独立的坐标是模态坐标X(t)，如果每阶模态坐标Xi(t)所对应的独立二阶微分方程都达到了临界阻尼状态，那么由模态坐标对振型进行耦合后的物理坐标也会呈现出临界阻尼的特性，反之亦然。

图7 临界阻尼状态时第i层的单位阶跃响应曲线Fig.7 Unit step response curve of layer i in critical damping state

计算得到各层的附加阻尼比ξ′a(i)后，根据阻尼比与阻尼系数的关系可以得到:

式中:c′a(i)'ξ′a(i)'ξ′(i)分别表示结构第i层基于独立二阶系统响应分析下的附加阻尼系数、附加阻尼比和阻尼比；c′(i)则是未附加刚度和阻尼时原结构阻尼系数形成的阻尼矩阵对角化后对应的第i层阻尼系数。

由于简化后的减震结构模型（图1）本质上是一个层间位移结构模型，各层附加阻尼器形成的附加阻尼矩阵为

若要使结构各层实际附加的阻尼系数ca(i)所形成的附加阻尼矩阵Ca和各层基于独立二阶系统响应分析时所需附加的阻尼系数形成的对角阵对结构产生的阻尼效果相同，那么从线性变换的角度讲，矩阵Ca应该相似于对角阵，据此可以求解出矩阵Ca中的每个附加阻尼系数ca(i)，从而确定结构各层所需附加阻尼器的阻尼系数合理值。

5 计算实例

某6 层装配式钢筋混凝土结构，层高均为3.3 m，按8 度抗震设防考虑，采用瑞雷阻尼矩阵，取原结构第一、二阶阻尼比分别为ξ1=0.05，ξ2=0.07。结构 1～5 层质量均为 2.19×105kg，6 层为2.85×105kg；1～4层抗侧刚度均为k=87.65×107N/m，5层、6层抗侧刚度分别为k=81.31×107N/m，78.26×107N/m；1～4层的开裂位移均为xc=9.1 mm，5层、6 层的开裂位移分别为xc=10.2 mm，11.5 mm；而同等情况下的现浇结构1～4 层的屈服位移均为xy(e)=15.8 mm，5 层、6 层的屈服位移分别为xy(e)=17.6 mm，18.7 mm。现在采用本文的减震设计方法，并以开裂即破坏为准，为该结构选定设置在各层的黏弹性阻尼器的相关参数；最后使用采样周期为0.02 s的400 gal El Centro 罕遇地震波输入结构，对比分析采取减震措施前后结构的减震效果。

按照本文的减震设计方法，首先根据式（12）和图5计算各层的附加刚度ka(i)，如表1所示，然后计算结构附加刚度后的质量矩阵M、阻尼矩阵C、刚度矩阵K和附加刚度矩阵Ka，并建立该结构的控制系统。

表1 各层附加刚度ki及集中质量mi表Table 1 Table of Added stiffness ki and centralized quality mi of each layer

向结构控制系统输入单位阶跃信号获得各层的单位阶跃响应曲线，计算各层的阻尼比ξ'i和附加阻尼比ξ'a(i)，最终得到结构各层所需附加的阻尼系数ca(i)，如表2所示。

根据表1和表2的计算结果，以及附加阻尼矩阵Ca与C'a的相似关系，可以得到表3所示该装配式结构需要在各层附加的刚度和阻尼系数等参数。

表2 结构各层的参数计算表Table 2 Calculation table for parameter of each layer

表2 结构各层的参数计算表Table 2 Calculation table for parameter of each layer

楼层i xi(1)／mm xi(6)／mm(-m/kinc)i／mm 1 2 3 4 5 6 c'i／（×106 N·s·m-1）c'a(i)／（×106 N·s·m-1）-8.113-5.349-4.310 0.041 3 0.958 7 0.337 5 7.83 ξ'i ξ'a(i)-2.099-1.404-1.169 0.043 7 0.956 3 9.130 7 199.71-3.938-2.610-2.152 0.043 3 0.956 7 7.409 7 163.78-5.473-3.607-2.949 0.0428 0.9572 5.3432 119.52-6.662-4.384-3.562 0.0422 0.9578 3.1591 71.64-7.552-4.975-4.021 0.041 7 0.958 3 1.362 1 31.33

表 3 结构各层需要附加的刚度 ka（i）和阻尼系数 ca（i）表Table 3 Table for added stiffness ka（i）and damping ca（i）of each layer in need

图8-图10 分别为算例中装配式结构在未附加刚度与阻尼、只附加刚度和附加了刚度与阻尼三种情况下输入单位阶跃信号后结构各层的相对位移随时间变化的趋势。从单位阶跃位移响应曲线图中可以看出，装配式结构各层位移响应的稳定值在附加刚度后均已降低，在附加阻尼后结构的自振响应已经被消除，并且位移响应的稳定值在附加阻尼前后均保持不变。以结构顶层为例，其位移响应稳定值从未附加刚度和阻尼时的6.140 8 mm 减小到仅附加刚度时的4.310 1 mm，另外该层结构的响应曲线中由自振引起的振动响应部分也在附加阻尼后达到临界阻尼稳定状态，其位移响应的稳定值仍然保持不变。说明按本文方法计算的附加刚度和附加阻尼等参数设计的装配式结构减震体系达到了既对输入的设定值能快速反应又能快速稳定扰动影响的目标。

图8 原结构系统的单位阶跃响应曲线图Fig.8 Unit step response curve of the original system of the structure

图9 附加刚度后的单位阶跃响应曲线图Fig.9 Unit step response curve of the condition of adding stiffness later

图10 附加刚度和阻尼后的单位阶跃响应曲线图Fig.10 Unit step response curve of the condition of adding stiffness and damping later

图11 为算例中的装配式结构基于线弹性分析时在未附加刚度与阻尼、仅附加刚度和附加了刚度与阻尼三种情况下输入地震波后顶层的位移响应曲线。该响应曲线中记录到的以上三种情况下的位移最大值分别为54.424 3 mm、37.929 1 mm、12.021 2 mm，并且三种情况顶层振动的频繁程度由高到低分别为仅附加了刚度、未附加刚度和阻尼、附加了刚度和阻尼。这说明了附加刚度和阻尼均能降低结构在地震作用下的位移响应值，特别是附加的阻尼能大幅降低结构振动的频率，同时也说明了附加阻尼对装配式混凝土结构减震设计的必要性。

图11 结构顶层位移x-时间t图Fig.11 Displacement x-time t of top layer of structure

图12 为算例中的装配式混凝土结构基于线弹性分析时在未附加刚度与阻尼、仅附加刚度和附加了刚度与阻尼三种情况下各层弹性层间位移角与楼层高度的关系图。该图显示出了在8 度罕遇地震作用下，装配式结构最大弹性层间位移角在未附加刚度和阻尼的情况下为θe（max）= 1 244，已经超过了弹性层间位移角的规范［2］限值[θe]=1/550，需要进行弹塑性分析；而在仅附加了刚度的情况下θe（max）= 1 385，虽然各层的竖向构件侧移量被控制在开裂破坏范围内，但仍然超过了规范［2］限值，不能按线弹性方法分析；只有在附加了刚度和阻尼的情况下θe(max)= 1 1427，结构各层不仅竖向构件侧移量被控制在开裂破坏范围内，而且最大弹性层间位移角满足规范［2］限值的要求，可以按线弹性方法分析；另外，以上三种情况下各层的弹性层间位移角只有附加了刚度和阻尼的这种情况分布比较均匀，说眀附加阻尼体系设计比较合理，这样既可以充分发挥抗侧构件材料的力学作用，又可以让附加的阻尼体系充分发挥减震作用。所以本文的装配式结构减震体系设计及计算方法是合理可靠的。

图12 各层弹性层间位移角θ-楼层高度h图Fig.12 Elastic interstory drift ratio θ-floor height h of each layer

6 结 论

本文针对装配式结构的连接部位易发生脆性破坏的特性，基于线弹性分析对其进行减震设计，得出以下结论:

（1）装配式混凝土结构减震设计不仅要考虑竖向抗侧构件连接部位位移限值的大小，还要考虑连接部位脆性破坏特征的影响，合理选择阻尼器。

（2）由于模态坐标X(t)和物理坐标x(t)之间的线性变换关系，基于物理坐标采用时域分析法设计的结构临界阻尼体系完全可以让结构各层的动力响应达到临界阻尼状态。

（3）基于时域分析法对装配式结构进行减震设计的方法得到的附加刚度能准确控制结构各层的位移限值，得到的附加阻尼能最大限度地优化结构阻尼体系，抑制结构自振产生的扰动，保护脆性破坏特征明显的后浇连接部位，对装配式结构的减震设计有借鉴指导的作用。