碰撞打靶实验中的能量损失及不确定度估算

浦天舒

(东华大学理学院 上海 201620)

碰撞打靶实验一般总要求通过实验测定碰撞时的能量损失[1]，但如果只作实验测定而不先作理论估算，对实验装置的调节就带有盲目性.如果先作了理论估算，则估算的正确与否须由实验来验证：若二者一致则说明估算正确，若不一致就有如何进一步调节实验装置修正估算值的问题.这都涉及数据的处理：例如，哪个是估算量？如何判定测量结果与估算量是否一致？即如何通过数据处理评判测定结果？教学中还发现学生在实验不确定度的估算中往往容易混淆因果.本文将以实际测量数据为例来说明.

1 公式推导及打靶前各参量的测量数据

碰撞打靶实验撞击球和被撞球的位置与靶心位置示意图如图1所示.

如果质量分别为m1和m2的两只球在水平方向发生对心弹性碰撞，因在水平方向不受外力，所以水平方向的动量守恒

m1v1=m1v′1+m2v2

(1)

图1 撞击球与被撞球的高度与靶心位置示意图

式中v1和v′1分别是质量为m1的撞击球即摆球碰撞前、后的水平速度，v2是质量为m2的被撞球(碰撞前静止)碰撞后的水平速度.若不计能量损失，还应有动能守恒

(2)

由式(1)、(2)消去v′1得

(3)

(4)

(5)

将式(4)、(5)代入式(3)，可得

(6)

测得摆球的质量m1=32.668 g，被撞球的质量m2=23.834 g，测得由式(6)确定的y,x,h各参量如表1所示.

表1 打靶前参量x,y,h的测量数据

2 由实际落点x′推算能量损失

然而在实验过程中，由于撞击时的能量损失，发现实际落点并不是x而是x′

(7)

于是可以推算出非弹性碰撞时所损失的能量为

(8)

x′的测量数据如表2所示.

表2 各次打靶测量数据

在显著性水平α=0.01下检验统计量

(9)

(10)

(11)

此推算是否正确，应由实验来验证.

ΔE推算的相对标准不确定度为

(12)

4.7%

(13)

(14)

于是得到

ΔE推算=(2.8±0.2)×10-3J

(15)

3 能量损失的实验测定

若要使被撞球击中靶心位置x，那么摆球的高度应升高至h′，使得

(16)

得到摆球需升高的高度为

(17)

表3 摆球升高Δh后的打靶测量数据

所以

(18)

(19)

(20)

表4 摆球升高至h″时的打靶测量数据

(21)

(22)

其标准不确定度为(忽略m1,m2和g的不确定度)

(23)

uΔE总=0.1×10-3J

(24)

于是测量结果可以表示为

ΔE总=(4.4±0.1)×10-3J

(25)

由于ΔE推算只是考虑了非弹性碰撞的因素所产生的能量损失，所以

ΔE总-ΔE推算=1.6×10-3J

(26)

就是非弹性碰撞以外的因素所产生的能量损失，主要是空气阻力等因素.

4 小结

5 讨论

需要指出的是，若不计能量损失，可算出击中位置x′时摆球相对于被撞球的高度理论上应为

(27)

显然，由下式算得的能量损失

ΔEx′=m1g(h-hx′)=

(28)

应该是摆球位于hx′而不是h处打靶时产生的能量损失，如果把此ΔEx′作为h处打靶时产生的能量损失的推算值，即假定

h′=h+(h-hx′)=5.53 cm

等于是在理论上假定hx′处打靶产生的能量损失与h处一样，之后的实验验证过程便如同用5.53 cm代替表3中的h′来进行.不过此处的ΔEx′与ΔE推算有所不同，ΔEx′是hx′处打靶产生的总能量损失，而ΔE推算是h处打靶时因非弹性碰撞产生的能量损失，所以用式(26)可以算出摆球位于h处打靶时因空气阻力产生的能量损失，但式(26)中的ΔE推算不能用ΔEx′替代.