关注生活会建模 轻松备考有方向

文王晓华

方程与不等式是初中代数的核心知识，在复习时我们不仅要明确相关概念，掌握求解方法，而且还要学会利用方程与不等式解决实际问题。其中，方程是用来表示数量间的相等关系；不等式是用来表示数量间的不等关系。解题时，同学们要学会把实际问题抽象成数学问题，通过建立相应的方程或不等式模型加以解决。

一、二元一次方程（组）的应用

例1 （2019·山东烟台）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作。某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位。

（1）计划调配36 座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？

（2）若同时调配36 座和22 座两种车型，既保证每人有座，又保证每辆车不空座，则两种车型各需多少辆？

解：（1）设该大学共有y名志愿者，计划调配36 座新能源客车x辆，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，

答：计划调配36 座新能源客车6 辆，该大学共有218名志愿者。

（2）设需调配36 座客车m辆，22 座客车n辆，依题意，得：36m+22n=218，

又∵m，n均为正整数，∴

答：需 调 配36 座 客 车3 辆，22 座 客车5辆。

四是为到国外，特别是为到美国留学、旅游或探亲的中国人提了一个醒。各国各地都有当地的法律法规，人们应该入乡随俗，无论是中国旅客，合法居留在当地的华侨，还是已经入籍的华人，都应该遵守。由于国情、制度、风俗不一样，在这一个国家合理、合纪、合法的事情，到另一个国家就不见得合理、合纪、合法。例如，在中国，小孩坐轿车并不强制要坐安全椅，然后系上安全带。但在美国如果不坐，不系安全带，就肯定违法。在韩国吃狗肉既不违法，也不违背风俗习惯；但在国外其他许多国家，如果吃狗肉，就肯定违犯当地禁忌，甚至犯法。

【点评】列方程解应用题时要抓住关键词，找出已知量、未知量之间的相等关系。当涉及的量比较多，关系比较复杂时，我们也可以通过列表、画图的方式理清关系。而对于一个二元一次方程，通常有无数个解，但其正整数解往往是有限的，所以有些方案设计题就利用二元一次方程整数解的有限性求解。

二、一元二次方程的应用

例2 （2019·江苏徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm。在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？

解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30-2x）cm，宽为（20-2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×［（30-2x）x+（20-2x）x］=200，

整理，得：2x2-25x+50=0，解得：x1=2.5，x2=10。当x=10 时，20-2x=0，不 合 题意，舍去。

答：当剪去正方形的边长为2.5cm 时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2。

【点评】用方程解决几何问题时，我们要学会利用数形结合思想进行分析。在找准等量关系的前提下，列出一元二次方程并求解。另外对于得到的两个解，不要忘了根据实际情况进行取舍。

三、方程与不等式的综合应用

例3 （2019·四川泸州）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车：若购买A型汽车4 辆，B型汽车7 辆，共需310 万元；若购买A型汽车10 辆，B型汽车15辆，共需700万元。

（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出最节约的方案，并求出该方案所需费用。

解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，

答：A型汽车每辆的进价为25 万元，B型汽车每辆的进价为30万元。

（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车（10-m）辆，根据题意得：

解得：3≤m＜5。

∵m是整数，∴m=3或4。

当m=3 时，该方案所用费用为：25×3+30×7=285（万元）；

当m=4 时，该方案所用费用为：25×4+30×6=280（万元）。

答：最节约的方案是购买A型汽车4辆，B型汽车6 辆，该方案所需费用为280万元。

【点评】审题时要抓住“超过”“不足”“大于”“不少于”等关键词，列出不等式（组）。此题根据不等式组的整数解得出相应的方案。在研究最省方案时，可以分别把各个方案对应的费用算出，再比较。但是如果遇到方案较多的情况，建议用函数的增减性加以说明。