看似形变实不变 抓住本质是关键

文陆文娟

初中代数涉及“不等式”知识的内容只有七（下）第11章“一元一次不等式”这一章，这章内容主要介绍了“不等式的定义、解集与基本性质”“一元一次不等式的定义、解法与应用”“一元一次不等式组的定义、解集、解法和应用”三块，看似简单，却贯穿了整个初中代数的所有知识。所以，同学们在复习的时候还是要高度重视，对定义、解法、应用要清清楚楚，绝不能有半点模糊。

例题 已知2-a和3-2a的值的符号相反，求a的取值范围。

【分析】因为两个代数式都含有字母a，所以它们的符号是不确定的，只能分类讨论。当2-a＞0 时，3-2a＜0；当2-a＜0 时，3-2a＞0。将其组成不等式组求出a的取值范围。

综上，a的取值范围为1.5＜a＜2。

【反思】如果条件给我们的是确定符号表示的不等式或不等式组，我们只需直接解不等式（组）就可以了；如果条件给我们的是用文字表达的不等关系，通常先要转译成符号语言，如果正负号不能确定，常常还需要分类讨论。

【变式1】已知2-a和3-2a的值相等，求a的值。

【分析】把上面的两个代数式的不确定的符号变成确定的值，原来的问题就变成一个一元一次方程的问题。

【略解】由2-a=3-2a，得a=1。

【变式2】要使下列式子有意义，求a的取值范围。

【分析】把例题中的两个代数式放进二次根号内，原来的问题就变成了一个二次根式确定字母取值范围的问题。

解：（1）由题意可得2-a≥0，求得a≤2；

（2）由题意可得3-2a≥0，求得a≤1.5；

（3）由题意可得2-a≥0 且3-2a≥0，求得a≤2且a≤1.5，所以a≤1.5。

【反思】初中阶段研究的代数式主要是在整式基础上的分式和二次根式。对于分式来说，由于分母上含有字母，要保证分母不为零；对于二次根式来说，要保证被开方数大于等于0。这样，又把一元一次不等式与二次根式的被开方数的取值范围联系在了一起。

【变式3】已知一次函数y1=2-x和y2=3-2x，分别解决如下问题。

（1）分别求出y1＞0 及y1＜0 时，x的取值范围；

（2）分别求出y2＞0 及y2＜0 时，x的取值范围；

（3）分别求出y1＞y2及y1＜y2时，x的取值范围。

【分析】把例题代数式中的a换成变量x，我们又可以把不等式问题转换成一次函数的问题来进行研究。

解：（1）由题意可得，函数y1=2-x与x轴的交点为（2，0），当x＜2 时，y1＞0，当x＞2时，y1＜0；

（2）由题意可得，函数y2=3-2x与x轴的交点为（1.5，0），当x＜1.5 时，y2＞0，当x＞1.5时，y2＜0；

（3）由题意可得，函数y1=2-x与y2=3-2x的交点为（1，1），当x＞1时，y1＞y2，当x＜1时，y1＜y2。

【反思】我们发现，方程、不等式、函数其实都是由代数式组成的。当我们从变量的角度来认识代数式的时候，就把方程、不等式和函数联系在了一起。事实上，我们解决函数的各种问题，主要就是依靠方程与不等式的知识。