梳理“不等” 整合“类比”

文杨红萍

方程、不等式和函数是初中代数的“铁三角”。对于方程和不等式的学习，我们通常采用类比的方法。很多同学碍于不等式的“不等”关系，对它望而却步。其实我们在处理不等式时，只要抓住它的本质特征，区分类型，逐一攻破，就能达到事半功倍的效果。本文结合一元一次不等式（组）的考点特征，进行分析探究。

一、基本性质

例1 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）。

【分析】本题可以从不等式的基本性质入手，结合条件进行变形，作出正确的判断。

【解析】在不等式a＜b的两边同时减去1，或两边同时乘2，不等号方向不变；在不等式a＜b的两边同时乘

【点评】遇到有关考查不等式的基本性质的问题时，我们必须学会判断以下两个点：（1）在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；（2）当不等式的两边要乘（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0 进行分类讨论。

二、不等式（组）的解集的概念、解法及解集表示

1.不等式（组）的解集的概念。

例2 已知x=4 是不等式ax-3a-1＜0 的解，x=2 不是不等式ax-3a-1＜0 的解，则实数a的取值范围是______。

【分析】根据x=4 是不等式ax-3a-1＜0 的解，说明 将x=4 代 入时“＜”成立；根据x=2 不是不等式ax-3a-1＜0 的解，说明x=2 代入时，需要将“＜”转变为“≥”。

【解析】∵x=4 是不等式ax-3a-1＜0的解，

∴4a-3a-1＜0，解得：a＜1。

∵x=2不是这个不等式的解，

∴2a-3a-1≥0，解得：a≤-1，

∴a≤-1。

【点评】对于不等式的解的概念类问题，我们必须牢牢抓住不等式的解的定义，即能使不等式成立的未知数的值，从中寻找突破口，进而得到有关的不等关系。

2.不等式组的解法及解集的数轴表示。

例3 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来。

【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分即可。

【解析】

由①得：x≤1，

由②得：x＞-1，

∴不等式组的解集为-1＜x≤1。

【点评】对于求不等式组的解集类问题，我们有两类方法去处理。

（1）借助数轴，把各个不等式的解集在数轴上表示出来，其公共部分就是不等式组的解集。在这个过程中，我们需要注意一些细节，如在表示解集时“≥”“≤”要用实心圆点表示，“＜”“＞”要用空心圆点表示。

（2）利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”求解。

三、由一元一次不等式（组）的解集求参数

例4 已知关于x的不等式组

{x＞2a- 3

2x≥3(x- 2) + 5 仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）。

【分析】分别求每个不等式的解集，再利用口诀求出不等式组的解集，最后利用仅有的三个整数解列出不等式求解。

【解析】由题知：2a-3＜x≤1。

∵关于x的不等式组仅有三个整数解，

∴-2≤2a-3＜-1，

【点评】对于“倒推型”问题，我们可以按照这样的步骤来操作：（1）分别求出各不等式的解；（2）借助数轴分析不等式（组）的解集；（3）构造关于待定字母的方程或不等式（组），并且思考分析，构造不等式（组）时是否包含临界值。

四、一元一次不等式（组）的实际应用

例5 某品牌自行车进价为每辆800 元，标价为每辆1200 元。店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打 折。

【分析】设该自行车能打x 折，则根据利润率不低于5%，得出不等式，解出解集即可。

【解析】设该自行车能打x 折，由题意得：

解得：x≥7，即最多可打7折。

【点评】对于一元一次不等式应用型问题的处理，最为关键的点是能够建模，将实际问题转化为数学问题，然后利用一元一次不等式（组）解答。所以，这时候我们可以类比方程，首先找到题目中所隐含的不等关系，并且区分已知量和未知量，一般应紧紧抓住题中含有“至少”（≥）、“最大”（≤）、“不超过”（≤）、“不低于”（≥）、“不小于”（≥）、“不大于”（≤）等关键词，列出不等式进而求解。

总之，大家在处理有关一元一次不等式（组）的问题时，应充分抓住题目中所包含的不等关系，然后利用不等式的两个基本性质、四种基本的解集类型去寻找突破口。虽然“不等关系”难以理解，但我们可以类比方程，并且借助“数轴”这一个有力工具来求解。相信大家只要敢于尝试，勤于思考，一定能理出一套属于自己的解决不等式（组）问题的思路来。