“类周期数列”求和技巧赏析

叶土生

(广东省广州外国语学校,511455)

数列求和是数列考查的热点问题,而周期数列求和是数列求和中较常见的一类问题,根据周期性求数列和一般都比较容易.对于一些与周期数列结合的非周期数列求和问题又如何解决?我们不妨称其为“类周期数列求和”问题.本文通过类比于周期数列求和介绍“类周期数列”求和的方法技巧,希望对大家有所帮助.

一、周期数列的求和

下面求前30项和S30.

解法1 (并项求和)

解法2 (分组求和 )

所以S30=S1+S2+S3=15.

评注 周期数列的求和一般可以从并项求和或分组求和两种思路出发.并项求和步骤是先每个周期进行求和,将求和问题转化为多个周期和的问题,然后再进行整体求和;分组求和就是先将相等的项组合在一起求和然后整体求和.

二、类周期数列求和

类型1 通项公式为an=(-1)nbn类型求和,其中{bn}是一般数列

例2 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),求数列{an}的前n项和.

分析 显然数列是以2为周期的数列,不妨称数列{an}为类周期数列.

解法1 (并项求和)

将同一周期的两项求和，得a2k-1+a2k=-(4k-3)+4k-1=2(k∈N*.

所以，S2m=2m，S2m-1=S2m-a2m=2m-4m+1=-2m+1.

解法2 (分组求和)

按{(-1)n}的周期为2，对{an}每隔2项取出项数分组求和.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nb2n}的前2n项和.

解 (1)an=2n-1.(过程略)

类型2 通项公式为an=bnf(n)类型求和,其中{bn}是以T为周期的周期数列

(A)1 006 (B)2 012 (C)503 (D)0

S2012=S1+S2+S3+S4=2×503=1 006.

分析 先化简通项，发现{an}是以3为周期的类周期数列,再用并项或分组求和.

分析 此数列是类型1、2的结合体,可以先分组再并项求和.

所以，S100=T1+T2+100=200.

评注 变式3的求解是采取降维的思想,先分组求……