对2019年高考数学全国Ⅱ卷理科21题的探究

江苏省灌南高级中学 (222500) 刘鑫钧安徽省淮北市第一中学 (235000) 周宗杰

一、考题再现

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E,连接QE并延长交C于点G.

(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

二、题源及分析

(一)题源

此题是由2011年江苏卷18题改编而来.

图1

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.

(二)分析

1.两道高考题的共性主要有四个方面：

(1)两个椭圆方程是一样的.

(2)全国卷Ⅱ后两问的条件与江苏卷的的题干中条件是一致的.

(3)全国卷Ⅱ的第二问表面上是证明直角三角形，实际上只要证明PQ⊥PG，因此与江苏卷的第三问实质上是一样的.

(4)两个高考题均为三问.

2.两道高考题的异性主要有两个个方面：

(1)全国卷Ⅱ不是直接告知椭圆方程，而是以斜率的乘积为定值这一条件呈现，需先求轨迹方程.

(2)从难度上来看：全国卷Ⅱ增加了求△PQG的最值一问，难度增大.

三、解法探究

对于全国卷Ⅱ的三个问题，这里主要探究第二问的解法.

评析：△PQG是运动变化的，但是变化的源头在PQ，它是主动，其它因它而动，是被动的，进一步分析，发现P,Q两点关于原点对称，因此直线PQ动本质就是点P在动，因此可以假设点P(x0,y0).

评析：△PQG的变化是由于直线PQ变化导致的，而刻画直线的变化的另一个视角就是通过直线斜率k来刻画，因此假设直线PQ的方程为y=kx是自然的，然后其它变化的点Q,G,E，及直线QG均可用k来表示，这样PQ,PG均能用k来表示，最后直接运算kPQkPG的值，从而获得问题的解答……