一道导数双变量不等式证明题的多角度探究

安徽省合肥市第一中学 (230601) 孔祥士

一、试题呈现

(合肥一中2019-2020学年度高三数学周测二第19题)已知函数f(x)=ex-ax，a∈R.

二、多维探究

探究1 由x1,x2为方程g′(x)=0的两根，原不等式可以消去参数a，转化为关于x1,x2的不等式，整体换元令t=x1-x2，转化为关于t的单变量不等式证明.

解法1:由g(x)=ex-ax-ax2，故g′(x)=ex-2ax-a，x∈R.

探究2同探究1消去参数a，转化为关于x1,x2的不等式，通过换元，把指数不等式转化为对数均值不等式，进而解决问题.

探究3通过求导g′(x)=ex-2ax-a，二次求导，讨论参数a，易得x1

解法3：因为函数g(x)恰有两个极值点x1，x2，所以g′(x)=ex-2ax-a在R上有两个变号零点x1，x2.又g″(x)=ex-2a，当a≤0时g″(x)>0，所以g′(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以g′(x)在R上至多一个零点，不合题意.当a>0时，当x∈

(-∞,ln2a)时g″(x)<0，g′(x)单调递减；当x∈(ln2a，+∞)时g″(x)>0，g′(x)单调递增，又因为当x→+∞时，g′(x)→+∞；当x→-∞时，

探究4 同探究1消去参数a，转化为关于x1,x2的不等式，不妨设x1

三、教学启示

导数是高中教学的一个重点，也是一个难点，双变量不等式的证明是导数考察的一个热点，导数与不等式综合解答题对学生数学思维能力要求很高，深刻考察学生的综合能力和核心素养，通常以试卷压轴题出现，很多同学素手无策，它成为很多同学难以逾越的障碍，由于试题综合性强，难度大，更不易搞题海战术，这就更加要求老师在教学中精选例习题，通过对典型问题的多角度探究和适当变式，让学生深刻领悟问题的本质，掌握解决问题的一般方法，体会其中蕴含的数学思想，从而最大限度地提高课堂教学效率.

提升学生的数学素养，落实立德树人的教育教学任务，所有问题都要落实到课堂教学这个主阵地上，尤其是鼓励……