引导发现法在“微分的定义”教学中的应用

位刚　刘迎洲　庹文丽　杨小锋　李祯

摘要：引导发现法是培养学生创新思维能力的一种基本教学方法。这种教学方法还原了知识的发现过程，让学生在探索过程中获取知识。高等数学（或微积分）是大学理工科、农科学生的一门重要基础课，将引导发现法应用于高等数学课堂教学，既能提高学生学习数学的积极性和主动性，提高教学效果，又能培养学生的问题意识和创新思维能力。文章结合该作者的教学实践，对“一元函数的微分”这一部分内容进行了引导发现法教学。

关键词：引导发现法;高等数学;微分;导数

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2020）16-0286-02

高等数学是大学理工科、农科专业学生必修的一门基础课程，微积分是其重要内容。通过本课程的学习，学生不仅能够掌握微积分的基本概念、基本定理，可以应用微积分的知识解决一些实际问题，而且在这个过程中能够掌握相应的数学思想。李大潜说过，数学的教改应该使学生领会到数学的精神实质和思想方法，而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生素质的提高，就失去了数学课程最本质的特点和要求。

“发现法”是美国著名认知心理学家布鲁纳积极倡导的一种教学方法。布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓之物的行为，正确地说，发现包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”他主张把学生视为“发现者”，教师不给任何启发和帮助。他认为，这种学习方式可以最大限度地发挥学生的积极性、主动性和创造性，启迪学生的智慧，培养他们的探索能力和独立获取知识的能力。20世纪70年代传入中国后，我国教育家将“发现法”引申为“引导发现法”，主张在必要时，教师可以适当给予学生一点“引导”。因此“引导发现法”是将“发现法”与“引导法”结合起来的一种教学方法，具有能够培养受教育者创新意识与创新精神的特点，其核心是：在教师的引导下，学生运用已学过的知识和技能，通过对教师所提供的材料内容进行学习，自己探索前人的发现过程，“发现”知识，由此使学生提出问题、探索问题及解决问题的能力以及创新精神得到培养。笔者结合自己多年的教学实践，就一元函数中“微分的定义”这一内容采用了引导发现法授课，还原了一元函数微分的定义及相关定理的创建过程，既让学生理解和掌握了知识，提高了学习的兴趣，更重要的是让学生在教师的引导下，经历了“发现问题—提出猜想—验证猜想”的探索过程，掌握了数学思想方法。一元函数“微分的定义”及相关定理的教学过程具体如下。

一、创设情境，让学生观察函数增量的规律

在引导发现法教学中，最重要的是创设情境，让学生从中发现规律，总结规律。现有教材中一元函数微分的定义大多由一个具体问题引出，即分析正方形边长增加引起的面积函数增量特点，并据此给出微分的定义、相关定理。有的教材甚至没有引例，直接给出微分的定义。通过一个例子，就给出定义，学生往往还是不太明白为什么要给出微分的定义。如果能从一开始多给几个引例，引导学生从中发现规律，效果要好得多。因此本节课开始先给出两个引例，并提出问题：这两个面积函数的增量有什么特点？引起学生讨论。例1：正方形的边长x增加Δx时，面积增加了多少？计算得正方形面积增量：ΔS=（x+Δx）-x=2xΔx+（Δx）。例2：圆的半径r增加Δr时，面积增加了多少？计算得圆的面积增量：ΔS=π（r+Δr）-πr=2πrΔr+π（Δr）。引导学生发现共同点：这两个函数增量都等于两部分之和，其中第一部分是一个常数（第一个函数增量中是2x，第二个函数增量中是2πr）与自变量增量的乘积，且是函数增量的主要部分，第二部分是自变量增量的高阶无穷小，是函数增量的次要部分。再给出第三个引例，同样是计算自变量变化引起的函数增量问题。例3：球的半径r增加Δr时，体积增加了多少？计算得球的体积增量：ΔV=π（r+Δr）-πr=4πrΔr+4πr（Δr）+π（Δr）。提出问题：该体积函数的增量是否也具有前面两个例题中函数增量的特点？学生可能会回答：这个函数增量是三部分之和。引导学生：能不能也看作是两部分之和？经过观察，学生很快就会发现该函数增量也可以看作两部分之和，其中第一部分是4πrΔr，即常数4πr与自变量增量Δr的乘积，也是函数增量的主要部分;第二部分是4πr（Δr）+π（Δr），是自变量增量Δr的高阶无穷小。三个不同的函数，的函数增量却展示出了共同的结构形式，抛开这些问题的实际意义，引导学生用数学语言总结这些函数所具有的共同特征：设函数y=f（x）在点x及其邻域内有定义，给x一个增量Δx，则函数增量能够表示为：Δy=AΔx+ο（Δx）。提出问题：函数增量所具有的这种特征是否具有普遍性？同时给出引例4：计算函数y=x在点x=0的增量。显然函数增量：Δy=0+Δx-0=Δx，不具有前面几个例题中函数增量的特点。因此有必要将这两类函数区分开来，区分的依据，就是函数在一点的增量是否具有例1、例2和例3中的特征。具有这种特征，我们就称函数在该点可微;否则，称函数在该点不可微。即设函数y=f（x）在点x及其邻域内有定义，给x一个增量Δx，如果函数增量Δy=f（x+Δx）-f（x）能够表示为Δy=AΔx+ο（Δx），则称函数y=f（x）在点x是可微的，而AΔx叫函数在点x相应于自变量增量的Δx微分。但是这个可微的定义和书上的定义还有差别，让学生将这个定义和教材中的定义进行比较，发现教材中多了一句话：其中A是不依赖自变量增量的常数。提出问题：是不是我们前面的观察还不够仔细？函数增量必定与函数、点和自变量增量有关，如果A不依赖于自变量增量，那么它依赖于什么？让学生仔细观察并讨论，并适时引导学生：A会不会与函数和点有什么關系？观察结果：在例1中：A=2x=S′（x），例2中：A=2πr=S′（r），例3中：A=4πr=

S′（x），即A恰好等于函数在该点的导数。提出问题：对于可微函数，这是巧合，还是必然规律？

二、猜想

基于对最前面三个例题中函数增量的特点观察，提出猜想：对于可微函数，A恰好都等于函数在该点的导数不是偶然现象，而是普遍规律。即：若函数y=f（x）在点x可微，则函数增量Δy=AΔx+ο（Δx）中的A恰好等于f′（x）。同时提出问题：如果是普遍规律，是不是意味着可微一定可导？再提出问题：可导是否一定可微？

三、验证猜想

引导学生观察，可微则：Δy=AΔx+ο（Δx），只要给等式两边同除以Δx，再取极限，即可证明f′（x）=A。若函数在点x处可导，则的极限值存在，不妨将该极限值记作A，即f′（x）==A，则根据函数极限与无穷小的定理有：=A+α，其中α→0，（当Δx→0）。由此又有Δy=AΔx+αΔx，而αΔx=ο（Δx），因此可导一定可微。至此，微分相关定理的提出水到渠成：函数y=f（x）在点x可微的充分必要条件是函数y=f（x）在点x处可导，且A=f′（x），即df（x）=f′（x）Δx。

这样就在教师不断的问题引导下，通过学生的观察、探索，还原了“微分定义及相关定理”的创建过程。让学生在学到知识的同时，也获得了巨大的乐趣，减少了学生对高等数学的畏难心理，激发了学习兴趣，同时也培养了学生的创造性思维能力，为他们将来在其他学科的学习和创新，提供了思想方法。

最后要强调的一点：尽管引导发现法是高等数学教学中培养创新型人才的一种非常有效的方法，但是并非所有的教学内容都适合运用该方法。作为教师必须非常熟悉教學内容，因此有必要多了解、参考国内外优秀教材的编写方法和特点，选择适合学生再发现活动的定义或定理，并给予恰当的教学设计，才能在教学过程中更好地重复前人的发现过程，同时最大限度地弥补该方法耗费时间的缺陷。

参考文献：

[1]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002，（10）：41-43.

[2]邵瑞珍.布鲁纳的课程论[M].人民教育出版社，1979：27.

[3]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].高等教育出版社，2014：110.

The Application of Guiding Discovery Method in the Teaching of "Definition of Differentiation"

WEI Gang，LIU Ying-zhou，TUO Wen-li，YANG Xiao-feng，LI Zhen

（College of Science，Northwest A&F University，Yangling，Shaanxi 712100，China）

Abstract：Guiding discovery is a basic teaching method to cultivate students' innovative thinking ability.This method restores the process of knowledge discovery and enables students to acquire knowledge in the process of exploration.Advanced mathematics （or calculus） is an important basic course for students of science，engineering and agriculture.It can not only increase  enthusiasm and initiative of students to learn mathematics，improve teaching effect，but also cultivate  problem consciousness and innovative thinking ability of students.Combined with my own teaching practice，this paper conducts the guided discovery teaching on the part of "differential of unitary function".

Key words：guided discovery;advanced mathematics;differential;derivative

收稿日期：2019-05-22

基金项目：本文受西北农林科技大学教学改革项目的资助（JY1703124）

作者简介：位刚（1980-），男（汉族），陕西兴平人，硕士，讲师，研究方向：应用数学。