关于幂零矩阵的Yang-Baxter矩阵方程的所有解*

丁佳文，叶祥兴，周端美

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

1 引言

令A是一个n×n的幂零矩阵，本文的目的是找出二次矩阵方程

AXA=XAX

(1)

的所有解.方程(1)也被称为Yang-Baxter矩阵方程，因为它在形式上和经典的Yang-Baxter矩阵方程[1-2]很相似.Yang-Baxter方程在统计力学与量子场论,C*-代数,环链不变量,量子群和保形场论等有广泛的应用[3-7].

要找到方程(1)的所有解并不是一件简单的事.实际上若将方程(1)转化成多项式方程组，这等价于求解一个n2个未知数，n2个二次方程的方程组，要找到所有的解并不是一件容易的事，即使是3×3的矩阵[8].目前大多数的研究成果都是在A满足一定条件时求出(1)的所有交换解，即AX=XA.例如，当A是一个可对角化矩阵时，文献[9]给出了方程 (1)的所有交换解；当A是一个指数为3的幂零矩阵时，文献[10]给出了方程(1)的所有交换解；当A是任意一个幂零矩阵，文献[11]给出了方程(1)的所有交换解.此外，当A是低秩矩阵时，一些研究者给出了方程 (1)的所有解[12-14]，当A是一个幂等矩阵时，文献[15]给出了方程 (1)所有解的表达式.本文的主要目的就是当A是一个幂零矩阵时，求出Yang-Baxter矩阵方程(1)的所有解.

2 指数为2的幂零矩阵的所有解

令A≠0是一个指数为2的幂零矩阵，即A2=0.显然A只有零特征值，并且它的最小多项式为m(λ)=λ2，因此A的Jordan块不是1×1就是2×2的对角元素全为0的矩阵.所以存在一个非奇异矩阵W，使得

W-1AW=J≡diag(0,J0,…,J0)

(2)

JYJ=YJY

(3)

引理1如果两个n×n矩阵A和X满足AXA=XAX，那么对于任意非奇异矩阵S，B=S-1AS和Y=S-1XS满足BYB=YBY.

反过来说，如果B=S-1AS，Y是上述方程的解，则X=SYS-1满足AXA=XAX.

求解方程(1)可以转化为求……