水位上升与荷载耦合作用下土坡稳定极限分析方法研究*

黄珮伦 张 嘎

(清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室， 北京 100084， 中国)

0 引 言

水库区滑坡会导致水库有效库容减小、工程破坏以及产生巨大涌浪危及下游的大坝及人民生命财产安全等灾害(罗晓红， 2003)。因此，对水库区滑坡的机理研究和稳定性分析方法的建立十分重要。自意大利瓦伊昂滑坡之后，工程地质与岩土力学等领域开始越来越重视水库区滑坡的研究(李松林等， 2017)。

影响水库区边坡稳定性的因素很多，其中水库蓄水以及坡表荷载是两类主要的荷载型式。目前，针对水位荷载对边坡稳定性的影响已有较多研究。在失稳机理方面，研究表明蓄水对边坡稳定性的影响主要体现在对土强度的弱化作用以及在坡体内部产生孔隙水压力(毛昶熙， 2003)。基于Mohr-Coulomb强度准则，刘才华等(2005)分析表明在孔隙水压力作用下Mohr应力圆变小并向左移动。强度折减法分析表明，在库水位逐渐上升的过程中，边坡安全系数随水位上升呈现先变小后变大的规律(Griffiths et al.，1999； Lane et al. 2000)。邓华峰等(2014)系统分析了库岸边坡的水岩相互作用机理，提出应根据水位变化情况分阶段考虑。周家文等(2019)通过水动力型滑坡灾害调查分析探讨了水位变动在内的多种水动力因素驱动下的土体失稳机理。在分析方法方面，主要包括极限平衡法(时卫民等， 2003； 杨继红等， 2011)、有限单元法(李荣建等， 2007； 徐文杰等， 2009)、极限分析法(Wulandari et al.，2019)以及其他方法等(杨帆等， 2019)。在模型试验方面，目前常见的物理模型试验分为框架式模型试验(贾官伟等， 2009)和离心模型试验(苗发盛等， 2018)。国内外学者对坡表荷载条件下边坡的稳定性也做了大量的相关研究(黄丽娟， 2008； Travis et al.，2010； 陈朝辉， 2012； 陶志刚等， 2017)，主要集中在对荷载大小、作用形式等对边坡稳定性的影响以及真实环境中的边坡稳定性评价等方面。

水库区边坡稳定性分析需要合理考虑其所受荷载环境的耦合影响，但现有极限分析等稳定性解析方法偏重于考虑单一荷载因素，难以合理考虑多类荷载耦合作用条件。本文在极限分析原理的基础上，针对水位上升与坡顶加载这一耦合作用条件，建立了一个土坡稳定性分析方法，以合理考虑边坡稳定性对加载过程的路径依赖性，提高水库区边坡安全分析的精度。

1 极限分析方法原理

目前在边坡稳定性分析中，按照对力平衡、应力-应变关系和位移协调3个条件的满足程度，可分为弹塑性分析方法、极限分析方法和极限平衡方法。弹塑性分析方法满足以上3个条件； 极限分析方法满足力平衡和位移协调，不满足应力-应变本构关系。极限平衡方法只满足力平衡。极限分析方法基于正交法则，合理考虑了应力平衡方程、位移的相容方程，在这一假设范围内，方法是严密的。通过适当地选取应力场和速度场，结合塑性力学的上、下限定理，可以使所求破坏荷载限制在很接近的小范围之内。目前已有许多关于极限分析法在边坡稳定性分析中的应用研究(王根龙等， 2006； 苏永华等， 2019)。

由于极限分析原理的严密性与简便性，本文采用极限分析原理中的上限法进行边坡稳定性分析。上限解是通过一个与流动法则相容的速度场得到的，在这种情况下，外力功率一定不小于内部耗损率。可以用式(1)来表示：

(1)

r(θ)=r0exp[(θ-θ0)tanφ]

(2)

图 1 物体A绕物体B的刚体运动(陈惠发， 1995)Fig. 1 Rigid body rotation of object A around B(Chen， 1995)

2 分析方法

采用“先解耦，再耦合”的思路，先将荷载组合结耦，建立只考虑单一因素的基于极限分析原理的边坡稳定性分析模型； 在此基础上再将荷载耦合，考虑多因素荷载条件下的极限分析模型。

2.1 坡顶荷载条件下的极限分析模型

在只有坡顶荷载的条件下，外力功率仅受到土体自重的影响以及坡顶荷载的影响(图 2)。分别求出三角形OAB、三角形OCA、区域OCB土体重力所做功率(陈惠发， 1995)，以及坡顶均布荷载q所做功率即可得到外力功率表达式，如式(3)所示：

(3)

{exp[(θA-θC)tanφ]sinθA-sinθC}

φ为土有效内摩擦角，下同。

图 2 坡顶荷载条件下的极限分析模型Fig. 2 Limit analysis model under water level load

滑动面上的内能耗散率为：

(4)

式中，c为土有效黏聚力，下同；θ同图1标注，下同；V关于θ的函数，同图1V(θ)标注，下同；r关于θ的函数，同图1r(θ)标注，下同。

使外功率与内部能量耗损率相等，得：

(5)

(6)

将边坡的临界高度作为衡量坡顶荷载对边坡稳定性影响的指标，临界高度低，说明坡顶荷载对边坡稳定性的影响大。基于上述模型，可以得出对于除高度外其余变量均相同的边坡，坡顶荷载在坡顶加载范围与边坡高度比值固定的情况下对边坡稳定性的影响(图3)。从图3中不难看出坡顶荷载大小对边坡稳定性的影响是单调的。

图 3 坡顶荷载对边坡稳定性的影响Fig. 3 Influence of slope top load on slope stability

2.2 蓄水条件下的极限分析模型

仅考虑水位缓慢变化情况下的边坡稳定性问题，即不考虑坡体内孔隙水或坡外库水渗透的影响(图 4)。本模型将水位对边坡的影响简化为自由水面以下水对土体的浮力，以及水土相互作用导致的黏聚力减小。基于已有试验结果，含水量变化对有效内摩擦角影响不大，而对有效黏聚力影响较大(江强强等， 2019)。因此本文仅考虑有效黏聚力的减小。此外，假设边坡内的自由水面与坡外自由水面一样高，忽略毛细作用的影响。在离心模型试验中，这一假定通过采用分级蓄水的方式来保证。每次蓄水到一定高度时会保持水位一段时间，使得边坡内的自由水面与坡外自由水面达到同样高度。那么此时外力功率将由土体的自重以及水的浮力两部分共同组成，如式(7)所示：

(7)

Δγ为水的容重，取9.8ikN·m-3； 其余符号与坡顶荷载模型中的定义相同。

滑动面上的内能耗散率为：

{exp[2(θA-θC)tanφ]-exp[2(θE-θC)tanφ]}

(8)

其中，Δc为土有效有效内聚力的减小值。

同理得到临界高度Hc：

(9)

图 4 蓄水条件下的极限分析模型Fig. 4 Limit analysis model under water level load

同样将临界坡高作为衡量边坡稳定性的指标，并且以水位高度与边坡高度的比值作为衡量水位荷载大小的指标。基于上述模型计算得出对于除高度外其余变量均相同的边坡，水位荷载对边坡稳定性的影响如图 5所示。可以看出随着水位的上升，边坡的稳定性状态先下降后上升，存在一个危险水位。

图 5 水位荷载对边坡稳定性的影响， h：水位； H：坡高Fig. 5 Influence of water level load on slope stability

2.3 耦合荷载条件下的极限分析模型

在坡顶荷载模型与水位荷载模型的基础上建立了耦合荷载条件下的极限分析模型。其中，外力功率可以表示为下式：

(10)

滑动面上的内能耗散率为：

{exp[2(θA-θC)tanφ]-exp[2(θE-θC)tanφ]}

(11)

同理得到临界高度Hc：

Hc=

(12)

耦合条件下的极限分析模型的外功率与内部耗散率虽然是两种单一因素下的表达式的线性叠加，但是最后耦合荷载对边坡稳定性的影响并不是两种单一因素影响的线性叠加。因为，最终Hc的确定是一个求最小值的过程，叠加后的最小值搜索过程要同时考虑两个因素的影响，使得不同荷载对边坡稳定性的影响将发生变化并产生耦合效应。

3 方法的离心模型试验验证

基于离心模型试验结果验证所建立的极限分析模型的有效性。试验中所用到的土坡模型高度为30icm，在离心加速度为50ig的条件下进行试验，相当于原型15im高的土坡。试验用土为粉质黏土，液限为25%，塑限为18.5%，颗粒比重为2.7，干密度为1.6g·cm-3，含水量为18%，根据直剪试验测得其内摩擦角为24°，黏聚力为42.5ikPa。对饱和土进行直剪试验测出黏聚力为17.5ikPa。可以认为水位导致的土黏聚力的折减值Δc为25ikPa。

表1给出了4种荷载组合作用下离心模型试验测得的极限荷载组合。这4种荷载包括：只有坡顶加载、只有水位加载的两种单一因素试验； 先蓄水再坡顶加载、先坡顶加载再蓄水的不同加载顺序耦合因素试验。其中，鉴于水位荷载对边坡稳定性的削弱效果不如坡顶荷载明显，4种工况下模型土坡的坡度不完全相同。除水位荷载外的3种工况均用坡度为1.5︰1的土坡进行试验，单一水位荷载工况下采用坡度为1︰0.3的土坡进行试验。除坡度不同外，4种工况下试验所用的土坡其余尺寸均相同。图 6以耦合因素试验为例给出了离心试验模型的几何形状与尺寸。

表 1 4种离心模型试验结果与本文方法预测结果Table 1 Centrifugal model test results and predictions

图 6 试验模型示意图(单位：mm)Fig. 6 Schematic view of test model(unit： mm)

从表 1可以看出，在蓄水和坡顶加载耦合作用下，两种加载顺序对应的边坡极限荷载组合显著不同：先蓄水再加载时极限水位为12.5im，而先加载再蓄水时的极限水位只有7.5im。这表明两种因素耦合作用下边坡的极限荷载显著依赖于加载过程。这是只能考虑单因素荷载作用的边坡稳定性分析方法不能考虑的。

表 1也给出了本文方法对4种离心模型试验的预测结果。方法预测与离心模型试验的对比表明，预测值与试验结果较为接近，说明了方法的有效性，能够考虑两类荷载耦合作用过程的影响。

图 7给出了4种工况下理论解预测的滑移面。为了计算的方便，本文将在求解的过程中假定滑移面通过坡趾(陈惠发， 1995)。可以看出，相较于坡顶荷载，水位荷载的作用使得滑移面向深处发展。在有坡顶荷载的工况下，滑移面顶部均位于加载板末端。在水位荷载的影响下，耦合荷载作用下产生的滑移面向深处发展。耦合荷载作用下，不同加载顺序对最终滑移面的位置与形状影响不大，先加载、后蓄水的荷载条件对应的滑移面略微更深。

图 7 4种工况下滑移面的预测结果Fig. 7 Prediction results of the slip surfacesa. 仅坡顶荷载； b. 仅水位加载； c. 先蓄水，后加载； d. 先加载，后蓄水

基于本文计算方法，可以解释两种加载顺序(先蓄水再加载、先加载再蓄水)条件下边坡的临界荷载组合不同的原因。图 8给出了采用本文方法算得的耦合加载条件下边坡稳定性发展过程。以临界坡高为衡量边坡稳定性的指标。在加载之前边坡的临界坡高为A点(31.6im)。在先蓄水12.5im的过程中，边坡的临界坡高从A点发展到D点(24.5im)； 此时再施加100ikPa坡顶荷载，边坡的临界坡高从D点发展到E点，达到离心模型试验中土坡对应的高度15im，发生破坏。如果先施加100ikPa坡顶荷载，边坡临界坡高由A点发展到B点(29.4im)，此时再蓄水7.5im，边坡临界坡高由B点发展到C点，达到模型土坡15im的高度，发生破坏。

图 8 路径依赖性产生原因Fig. 8 Causes of path dependencies

4 结 论

本研究基于极限分析理论，提出了一个水位上升和坡表加载耦合作用条件下边坡稳定性极限分析方法，并进行了数值实现。主要得出以下结论：

(1)将方法用于水位上升与坡表加载的边坡离心模型试验预测，预测结果与试验结果符合良好，从而验证了方法的有效性。该方法可以合理考虑水位上升与坡表加载的耦合作用，反映并能够解释两种因素的耦合效应。

(2)通过对不同工况下滑移面的对比分析可以得出，水位荷载的影响会导致滑移面向深处发展。不同加载顺序对最终滑移面的位置与形状影响不大，先加载、后蓄水的荷载条件对应的滑移面略微更深。

(3)在坡顶荷载与水位荷载耦合作用下，边坡稳定性随坡顶荷载增加单调下降，而随水位上升表现出先降低后增加的非单调变化。因此，边坡稳定性对于加载过程具有显著的依赖性。