长方体水箱系统重心形心推导研究

仲逸伦

【摘 要】本文主要针对给定水箱在水下不同情况的重心和形心之间的距离计算展开研究。首先根据形心不随物体转动而变化的特点，选择转轴为原点，建立坐标系，并将三维转化成二维，得到形状的坐标后，根据不同形状进行重心表达式的推导，其次对水箱斜靠在长方体的情景中进行讨论，寻找最佳斜靠角度，使得长方体总体的形心和重心距离最短，最后修改坐标系，相应推导出重心表达式的修正结果和新旧坐标转换公式，并理论分析原因。

【关键词】坐标系模型;不同形状;长方体

引言

给定一个长方体，有两个固定位置水箱，将长方体以最短边为轴转动，探究在此过程中的长方体（含水箱）形心和重心之间距离的变化。讨论当两个水箱中装水比例相同时，该比例大小对长方体形心重心之间距离的影响，若水箱可“斜放”，分别找出水箱共同的斜放角度和水箱单独的斜放角度，使长方体形心和重心距离最小。

1、问题分析

首先建立坐标系，从而将两者坐标求出来，进而表示出距离，其次建立坐标系之后，需要计算出两个水箱重心的坐标，因此需要对不同情况下水的形状进行讨论，并推导出不同情况下水重心的坐标。最后分析水箱斜放角度对长方体重心形心之间距离的影响，分别通过循环迭代的过程找到最小重心形心距离对应的两个相同参数值和两个自由参数值即可。

2、模型的建立与求解

对于水面来说，如果水面不达到水平，那么肯定有超过水平面的地方，此时势能必然不是最小，高出水平的那一部分则必然会往低处流动，最终达到水平的形态，水箱中的水面始终保持水平。如下所示：

设为水箱中装水的比例，水的体积是固定的，就可以定量计算出旋转过程中水面的左右边缘与水箱的位置情况。旋转过程相当于填补上，由面积相等，有公式：

得到：

用下标和分别表示左下角和右上角水箱。[3]先单独研究左下角的水箱，并以图1所示情况引入分类标准，在图1中，，，旋转角度为。显然旋转过程中，并不只有这一种情况，水面未必和水箱的上表面和右侧面接触，还有可能和左侧面先接触。这些情况是由和共同决定的，和表示水箱上下底面和水接触部分的长度，令及求出两个临界情况：

同样可得到右上角水箱参数：

其中，A是长方体和水箱的所有顶点坐标的集合，k为集合A中的元素个数，最终计算结果为。左右梯形相当于短低一侧三角形补充到长底一侧，所以长短底边长度分别为和，高为。

根据梯形重心计算公式：

其中为短边长度，为长边长度，为高，直接代入梯形重心公式，得到重心坐标为：

对于右上方水箱，当坐标原点同样选择在水箱左下角时，重心计算公式不变，之后加上根据两个水箱左下角之间的坐标差即可得到右上方水箱相对于左下角旋转轴的坐标，[2]两水箱相对位置不变，坐标差恒为.故

忽略水箱外皮以及长方体的重量，所以重心为：

重心计算公式的参数包括水的比例、水箱与地面的夹角、水箱的高和长。

从图中可以看出，当水箱和长方体有了一定停靠角度时，水箱和地面的夹角从原来的变成了。因此在新的坐标系中，重心计算公式中的参数，水箱和地面的夹角发生了变化，应将原来的参数修改为，其余均不变，这样得到的即是水箱重心相对于水箱左下角边的旋转轴的坐标。对于右上角水箱，同样需要加上和左下角水箱的坐标差，但由于斜靠会改变相对位置，因此公式也需要修正，根据几何关系也不难得出右上角水箱的重心坐标公式为：

由于停靠角度不为0，所以需要加上水箱左下角和长方体左下角之间的坐标差，从而将原坐标系的重心坐标转换到新坐标系中。形心由于和长方体的几何关系并未发生变化，因此形心坐标不发生改变，通过最终的重心和形心的距离表达式为：

其中、分别是坐标系下的两个水箱重心的横纵坐标差，对于不同的角度取值，水的形状不同，對应的、的表达式也不尽相同，代入不同的公式，最终结果是分段函数形式。设置和均从变化，计算不同停靠角度时，旋转角度从0到变化时，重心形心变化曲线。利用python在循环过程中可从其中找到其中具有最小距离的点时的值，结果为°，约为0.

设置、和均从变化，循环计算不同角度时重心形心之间的距离，其中的最小距离，也是时距离最小。

结论

本研究首先定量计算出旋转过程中水面的左右边缘与水箱的位置情况，其次以长方体长和高建立坐标系，由于不涉及轴旋转，因此只考虑二维坐标系，最后重心计算公式中的参数，将原来的参数修改，其余均不变，计算出不同角度时重心形心之间的距离。

参考文献：

[1]田大平，汪敏. 两种特殊坐标系下Laplace算子的推导[J]. 江汉大学学报（自然科版），2021，49（02）：29-34.

[2]高志强，李宝筏. 增量式旋转轴定向的应用实例[J]. 机械工程师，2007（08）：133.

[3]周瑞敏，王瑞尧，司文杰，李志军. 带有改进自适应动量因子的四容水箱DRNN控制系统设计[J]. 工业控制计算机，2021，34（01）：19-22.

（作者单位：大连理工大学中白学院工程力学系）