低能康普顿散射模拟模型在高纯锗探测器中的研究

顾 鹏， 乔琛凯， 林兴德， 刘书魁， 杜 强， 幸浩洋， 唐昌建

(四川大学物理学院， 成都 610064)

1 引 言

大量研究表明，人们所观测到的可见物质在宇宙中只占了5%左右，还有27%的物质并不了解, 这些物质几乎不参与人们所知的所有相互作用，却又在宇宙中扮演着重要角色，我们称之为暗物质[1-3]，剩余68%则是暗能量. 在探测暗物质的过程中，暗物质事件是稀少的，即使探测到暗物质信号也会被淹没在无数的本底信号中，尤其是gamma以及中子信号[4].这些信号无法完全屏蔽，只能通过能谱分析将其排除，因此必须研究清楚这些已知粒子的能谱构成，才能有效筛选出我们想要的信号. 也因此在暗物质探测中，理解本底并消除本底至关重要[5].

低能区的本底能谱结构复杂，对于光子能谱，在低能部分的康普顿能谱受到原子结构影响很大，因此研究低能康普顿散射对解析低能本底有重要作用[6]. 我们研究了康普顿散射在模拟软件中的过程，不但有助于实验进行，还能通过实验结果验证模拟的不足，从而改进模拟的效率和正确性，推进实验进程.

在粒子物理和和物理实验方法中，经典康普顿散射理论假设电子是自由电子，并且假设电子在碰撞前处于静止状态，微分截面由Klein-Nishina公式给出[7]. 然而实际上原子中的电子并非是自由的，这些电子被束缚在原子壳层中，不但会受到原子核的束缚以及其他电子影响，并且还带有一定的动量. 原子的束缚效应和束缚电子的运动都会对康普顿能谱产生较大影响，在低动量传递下的康普顿散射中表现得尤为明显. 因此在低动量传递的康普顿散射中，经典康普顿散射理论已经不再适用. 本文通过模拟来研究低能区的康普顿散射，探究原子的束缚效应对康普顿散射的影响.

2 原子康普顿散射理论

康普顿散射是描述光子与自由电子之间的碰撞而产生的散射效应，经典Klein-Nishina理论中的微分截面用如下公式进行计算，

其中, ωf是出射光子能量，ωi是入射光子能量，θ是对应的散射角，r0是经典电子半径. 经典康普顿散射能谱如图1所示.

图1 模拟经典康普顿散射能谱，横轴为光子在锗探测器中的沉积能量Fig.1 Classical Compton scattering spectrum in simulation, the x-axis is the deposition energy in germanium detector

然而在实际探测中必须考虑在低动量传递下束缚电子的对康普顿散射的影响，为了描述这一影响，人们已经发展出来一些新方法. 这些方法中，具有代表性的是Impulse Approximation(IA)理论[8]，在这种理论框架下，康普顿散射微分截面通过一个叫做散射函数的因子进行修正.

散射函数是描述在康普顿效应中实际参与过程的等效电子数，该函数与两个参数有关，一个是初始光子能量，另一个是康普顿散射角. 虽然散射函数依赖两个变量，但是在计算中不需要分别处理两个变量，可以将其转变成一个单独变量x.

x相当于动量传递，因此研究低动量传递的康普顿效应实际上需要做的就是让入射光子能量尽量低，散射角度尽量小.

3 康普顿散射模拟

3.1 康普顿散射模拟算法

本文采用Geant4.10.3进行模拟工作，该软件对于模拟实验具有很高的指导价值，其中关于康普顿效应，该软件建立了几个模拟低动量转移康普顿效应的算法模型，分别是Livermore模型[9]、Penelope模型[10]、Monash模型[11]以及经典康普顿效应模型. 前三个模型就是以IA理论作为框架而设计的几种算法模型.

软件中Livermore模型是建立在IA理论上的两体碰撞，只有一个散射平面，处理散射函数时，使用了Hubbell的理论计算数据[11]，并用解析函数进行了拟合，将Hubbell的数据连续化. Monash模型是由澳大利亚的Monash大学设计，他们将粒子的运动分解为三维运动，粒子不局限于一个散射平面，而散射函数的处理方法与Livermore模型相同. Penelope模型是根据阿根廷科尔多瓦大学的算法进行设计的，对粒子运动的处理与Livermore模型相同，散射函数则是通过插值法将Hubbell的计算数据连续化. 三个模型在光子能量适用范围上都是100 eV～100 GeV，能量低于100 eV时，散射函数设为0.

3.2 康普顿散射模拟设置

为了模拟真实的低动量转移康普顿散射实验，我们用高纯锗作为主探测器，它的直径与高都是1 cm的圆柱体，以CsI晶体闪烁体作为符合探测器，用来收集康普顿散射光子. 假设周围环境是真空环境，以减小空气对光子的散射而产生的误差，为使模拟更简便，将入射粒子设计成点源并固定为同一发射方向，入射光子能量为300 keV. 当光子在高纯锗探测器中发生康普顿散射后，电子会在高纯锗内沉积能量，光子有机会不再发生其他相互作用而穿过探测器，然后被CsI闪烁体探测器收集到.

3.3 康普顿散射模拟实验结果

图2为模拟的所有在高纯锗探测器中发生康普顿散射的能谱. 从模拟结果上来看，在低能区域经典康普顿散射与修正后的康普顿散射有明显差距. IA框架下的康普顿散射在低能区都有台阶出现，如图2(a)所示，并且台阶所对应的能量等于电子的电离能.而经典康普顿散射并未有台阶出现, 说明经典康普顿散射并未考虑在能量接近原子中电子电离能时束缚态对电子的影响. 在康普顿散射中电子的多体效应非常明显，使得在低能区实际参与过程的电子并非原子中全部的电子. 在康普顿散射边缘，可以发现经典康普顿散射是截断的，即电子具有动量这个特征不能表现出来. 而在模拟中，修正后的康普顿散射能谱则表现出了这些信息. 由此可见，当想要真正的暗物质信号时，必须完全了解低能本底的构成.

图2(a)中，Livermore模型和Monash模型的主要区别在散射粒子运动学的处理上，从模拟结果上可以看出能谱几乎重合，只有极小的差别，并且总的康普顿事例一致，这也说明电子三维的运动学对能谱影响小. 当我们关注低能区部分时，也就是接近锗原子的束缚能时，可以发现Monash模型能谱在低能部分康普顿事例比Livermore模型多许多，已经超出蒙特卡洛模拟的统计误差，如图2(b)所示. 对于Livermore模型，由于它是二维运动学模型，在处理散射角时只对极角θ进行取样，而方位角φ当做0. Monash模型是对极角θ和方位角φ都进行了取样. 因此Monash模型的康普顿事例也就与Livermore模型不同，它们的差异在低能部分比较明显. Penelope模型对于康普顿散射的处理依赖于能区，入射光子能量高于5 MeV采用Klein-Nishina方法，而低于5 MeV的入射光子，则采用插值法获得散射函数值.这个模型运动学处理依然是限定在二维的散射平面，结果与Livermore模型相近. 经过计算，能量在原子k能级(0.011 keV)时，台阶的高度比例分别是95.92%、92.87%和96.68%，但只考虑束缚电子时，这个比例应该为93.75%.从图中可以看到，在低能部分三个模型的差异约有10%.

图2 三个模型的康普顿散射能谱: (a)对数坐标康普顿散射能谱; (b)线性坐标康普顿能谱

Fig.2 Compton scattering spectrum about three model: (a) logarithmic coordinates Compton spectrum; (b) linear coordinates Compton spectrum

4 结 论

本文通过Geant4模拟软件研究了暗物质探测中的康普顿散射背景. 在IA框架下，利用三种模拟算法：Livermore模型、Penelope模型和Monash模型进行了模拟实验. 模拟结果显示，与经典康普顿散射模型相比，IA框架下的模型在低能区均有康普顿台阶出现，说明在IA理论下原子的束缚效应已经被考虑进模型中. 经过比较模型之间的差异，发现三者在全角度康普顿散射能谱中，高能区能谱差异并不明显，而低能区差异较为明显，高度大约有10%的差异. 在锗原子k壳层能级处，三个模型的台阶比例分别为95.92%、92.87%和96.68%. 低能区10%的差异可以通过高纯锗探测器探测，并给出较为准确的结果，因此可以通过设计一个低能康普顿散射实验来验证模型的优劣.