一类函数图象上的特殊“点对”问题的求解策略

函数图象上特殊的“点对”问题是函数教学中经常遇到的，对于常规的某一个函数中存在关于原点、x轴、y轴及某条直线等对称的“点对”问题，思维的方向还是较明确的，但对于特殊的“点对”问题，则需要在弄清题意的基础上进行转化，数形结合，实现问题解决的优化，应在教学中高度重视.

问题1 函数y=11-x的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）.

A.2B.4C.6D.8

本问题中求两个函数交点横坐标之和，则需首先研究这两个函数的特征，先看函数y1=11-x，它是由函数y=-1x经过变换得到的，而函数y=-1x关于点（0，0）成中心对称，所以函数y=11-x关于点（1，0）成中心对称;又因为函数y2=2sinπx的图象也关于点（1，0）成中心对称，这样两个函数恰有公共的对称中心（1，0）.

作出两个函数的图象（如图1所示），当1

因为函数y1在（1，4）上的函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E，F，G，H，y1在（-2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A，B，C，D，很显然A与H，B与G，C与F，D 与E均成点对，所以有xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8，故选D.

本题抓住两个函数均关于对称中心成“点对”的问题，利用函数性质，探究交点之间的对称关系，使问题得以解决.

问题2 已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=x2-2x-3 与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑mi=1xi=（）.A.0B.mC.2mD.4m

本题从条件f（x）=f（2-x）可以知道，函数y=f（x）关于直线x=1对称，函数y=|x2-2x-3|也关于x=1对称，这样两个函数有共同的对称轴x=1，因此它们的交点就关于直线x=1对称.如图2：

当m为偶数时，其和为2×m2=m，当m为奇数时，其和为2×m-12+1=m，

因此选B.

本问题用到了重要的结论：如果函数f（x）满足x∈D，恒有f（a+x）=f（b-x），那么函数的图象有对称轴

x=a+b2.很显然这是一个关于直线对称……