平面几何入门的语言教学探究

熊娜

摘  要：几何语言作为几何证明的表达方式，是平面几何入门时必跨的一道门槛。不少学生刚接触时，觉得很困难，第一个关卡就是几何语言，比如：概念不理解、图形不熟悉、不会表达等。本文在教学实践的基础上进行了探索，对原因和语言教学进行了分析。

关键词：平面几何  几何语言  几何教学

中图分类号：G633.6         文献标识码：C            文章编号：1672-1578（2020）01-0092-02

平面几何是在平面上研究几何图形的形状、位置、数量关系等性质[1]。在平面几何的入门教学中，基本概念、名词、符号语言等都将一一出现。学生在小学阶段习惯于数式计算，而进入初中后要开始研究图形，这就使得部分学生在初学几何时感到不适应。所以，抓好平面几何的入门教学可以帮助学生顺利进入图形的学习。在平面几何入门教学中，学生要想理解概念、找出基本图形、准确而灵活地进行逻辑推理和演绎推理，就必须先学会准确地理解、表述几何语言。

1   问题提出

1.1 统计调查

近幾年，在七、八两个年级中对部分学生进行了调查，结果从主观和数据上都反映几何语言已经成为几何教学中的一项急需解决的问题。部分调查如下：

（1）“在学习几何时，你觉得哪个方面最困难？”

A、基本概念   B、识别图形   C、几何语言的理解与表述

D、顺利说理   E、没有困难

据2017、2018年统计，选C的学生占29.8%，仅次于选D的38.1%;而选择A、B、E的分别占5.2%、11.8%和15.1%。

（2）作图：在直线AB上取一点C。

据2018年统计，50%的七年级学生画成图1。

（3）不能改正“直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离”这句话错误的学生占48%。

1.2 分析原因

1.2.1 教学内容的变化

教学内容从代数到图形的变化，引起数学语言从代数语言到几何语言的变化。例如，有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，可以表述为a-b=a+（-b）。代数中类似的文字语言转化成符号语言都比较简单，学生容易理解。但是，几何中的文字语言，对于不同的图形、不同的字母并没有统一规定。因而，学生可能会把图形语言、文字语言、符号语言这三者分裂开来，只是单纯地记忆概念、定理，做题时却不会灵活地进行推理论证。

1.2.2 几何语言与日常用语的冲突

数学学习要求严谨，七年级学生思维能力、分析能力不强，很多学生会混淆概念、定理中的文字语言与日常生活用语。例如，上面调查中，在直线AB上取一点C，很多初学者都画成点C在直线AB上方。究其原因，是我们在日常生活中，对“上”的理解多为方位上的上方。这是由于几何概念的本质，引起几何语言与日常用语的不同。

1.2.3 图形语言与符号语言之间的转化

学生不能根据题目要求将图形语言准确转化为符号语言。例如图2，AD平分∠BAC，可以转化为符号语言：∠BAD=∠CAD，∠BAD=1/2∠BAC，∠CAD=1/2∠BAC，∠BAC=2∠BAD，∠BAC=2∠CAD，具体使用哪个结论要看题目要求。而很多学生只会得出∠BAD=∠CAD这个结论。

1.3 反思提问

在几何入门中，类似的问题层出不穷，笔者认为要解决此类问题，不妨让学生先学会运用几何语言。那么，又有哪些常用的几何语言？如何在教学中培养学生的几何语言，加强符号语言能力，帮助学生度过语言这一关呢？这些正是本文要探索解决的。

2   入门阶段使用的几何语言

平面几何在入门阶段的教学中，提出并使用了大量的符号语言，它们更简练、更严谨，主要有以下几种：

2.1 常用的几何术语

如“任意（取）” “任何一个” “分别” “有且只有”等，学生常常会理解错误。例如，“在直线AB外取一点C”，这里“取”并不完全是“随意取”，因为直线可以向两边无限延长，所以要保证直线不经过点C;而“在射线OA上取一点P”，这里的“取”就是“任意取”的意思。

2.2 表示图形位置关系、数量关系的名词

如“相交” “相邻” “垂直” “等角” “补角” “平分”等，学生常常不能分辨出这些名词是指几个图形之间的关系。例如，“等角的补角相等”，部分学生不明白这句话指的是几个角之间的关系;它们还分不清“互余”、“互补”都是指两个角之间的数量关系，而不是位置关系[2]。

2.3 表示画图、尺规作图的语句

如“连接” “延长” “反向延长线段AB至点C，使得AC=AB”、“过点P作直线AB的垂线CD，垂足为点O”等，部分学生不能根据题意准确地画出图形;反过来，尺规作图后又不能使用规范的文字语言来描述图形语言。

3   加强学生几何语言能力的教学探索

平面几何教学中涉及三种数学语言：文字语言、图形语言和符号语言。正确掌握这三种数学语言之间的相互转化，是初步学好几何的重要条件[3]。针对学生学习几何语言产生的种种困难及原因，笔者进行了一些教学探索。

3.1 教师的课堂语言

几何学习入门阶段，教师在课堂上对图形的描述、分析、画法，以及讲解例题和板书时，都会对学生产生潜移默化的影响。例如，教学“两点之间确定一条直线”，要引导学生理解“确定”是“有且只有”的意思，“有”表示存在，“只有”表示唯一存在。不能用日常语言去理解类似的符号语言，两者之间是有区别的。

在学习同位角的概念时，如图3，苏教版七年级下册教材上是这样给的“在两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角”。会有学生这样理解，认为同位角即“位置相同”的角，误以为图4中的∠1与∠2是同位角。教学中应该明确阐述“位置相同”的含义，是指“这两个角分别在两条直线相同的一侧，并且都在第三条直线的同旁”。因此，教师在课堂上必须要做到语言精准、板书准确、画图规范，给学生正确的示范。

3.2 重视基础语言训练

从基本概念、基本事实、定理入手，抓好几何语言的教学。严格要求学生在课堂上仔细阅读教材，读懂教材上的文字语言所表达的内容，对概念、基本事实、定理进行复述和记忆，从而使学生进一步理解常用的几何语言[2]。这样也有利于培养学生的审题能力，避免因看不懂题而无从下笔。

必要时应帮助学生分析几何语句，使学生能理清句子的主要成分，从而理解句子所要表达的意思。例如，在定理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的教学中，帮助学生把点到直线的距离理解为“垂线段的长度”。这样，不仅有利于学生对概念本质的掌握，也避免前面调查第3题的错误。

3.3 加强文字语言与符号语言的互相转化训练

3.3.1 将文字语言翻译为符号语言

根据概念、定理的文字语言，准确地画出图形，再转化为简明的符号语言。例如，在教定理“两直线平行，内错角相等”时，应该先让学生理解文字语言所表达的含义，再让他们画出正确的图形（如图5），最后根据图形语言准确地表达出符号语言。在此基础上，可以训练学生对于命题的证明。

例如，证明“直角三角形的两个锐角互余”：

已知：如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：∠A+∠C=90°。

这样，在证明文字命题时，用同样的方法根据文字语言画出图形语言，分清“已知”与“求证”，从而克服在推理教学中语言转化的障碍，对于后面的说理论证很有帮助。

3.3.2 将符号语言翻译为文字语言

可以采用让学生“看图说话”的形式，即先把图形语言转化为符号语言，再转化为文字语言。如图7，学生根据图中的OM=ON，l⊥MN于点O，说出“直线l垂直平分MN”等。教学中还可以让学生概括出一些简单的定理，比如“平行线的性质” “三角形的内角和定理”等。

在此基础上，进而要求学生根据图形语言和符号语言，用简练准确的文字语言表达出相应的几何结论（如命题等）。

例如，如图8，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，MG平分∠AMF，NH平分∠CNE，MG、NH相交于点O，求证：MG⊥NH（证明过程略）。

根据图8，用对应的符号语言说出条件和结论，学生可以概括出命题“两条直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直”。

4   结语

综上所述，抓好几何语言是平面几何教学的基础，学好平面几何，有利于提高学生的逻辑思维能力，更好地发展学生合情推理、演绎推理的能力，也为立体几何的学习打下基础。从七年级开始，教师就要不斷地探索几何语言的教学，培养学生扎实的几何语言基本功，带领学生感受平面几何的美。

参考文献：

[1] 高一子.基本图形在平面几何中的教学运用[J].中学数学教学参考：中旬，2015（6）：38.

[2] 杨裕前.平面几何入门教学[M].江苏：江苏教育出版社，1988：66.

[3] 谢一平.浅谈几何入门的语言教学和推理论证教学[J].中学生数理化：学研版，2013（5）：50.