概率论与数理统计 “金课”建设与教学改革
——基于慕课的混合式教学模式的探索与实践∗

徐 尔 赵鲁涛 李 娜 张志刚 范玉妹

（北京科技大学 数理学院，北京 100083）

一、前言

2018年6月21日，教育部召开了改革开放以来第一次中国高等学校本科教育工作会议，指出要把本科教育放在我国人才培养的核心地位，提出建设 “金课” 的目标和要求［1］。为了更好地将知识、能力和素质融为一体，培养学生的高级思维及解决复杂问题的综合能力，我们对概率论与数理统计课程开展了 “金课”建设研究与实践［2］。在原有课程建设的基础上，概率统计教学团队重新精心设计，丰富扩充了原有的教学内容，开发制作了概率论与数理统计在线课程，并开展了翻转课堂及线上线下的混合式教学［3］。课程内容大大增加了前沿性和应用性，培养学生独立思考能力与学以致用的能力；教学方式通过结合多元化信息技术手段充分体现了先进性；线下通过开展互动式、探究式教学活动，进行开放性的课堂讨论，培养学生创新思维能力［4］；采用多元化课程考核方式，对学生学习的全过程进行考核。该课程已成功在 “中国大学 MOOC”平台上线。通过课程的建设和改革，成功地实现了从 “传授知识型”到 “培养能力型”的转变［5］。

二、概率论与数理统计教学现状

概率论与数理统计课程 （48学时）是理工科学生三门基础数学必修课之一，是各个学科领域中进行理论研究和实践工作的基础，对培养学生的综合能力，提高学生的数学素养，提升科研和创新能力都具有重要的作用。但对大二学生来说，相对高等数学和线性代数而言，课程具有相当大的难度。而目前的教学现状很难提高教学质量，达到本课程的教学目标。

（一）教学手段陈旧

概率统计研究的是随机现象中的统计规律性，而统计规律通常隐蔽在海量数据中，只有在大量重复实验中才能被呈现出来，而呈现方式在传统、陈旧的教学手段下很难实现，这就加大了学生对结果理解的难度。

（二）教学内容滞后

概率统计是研究解决随机问题重要的数学工具，在实际中具有广泛的应用。但传统教学重理论轻应用，课堂教学所用的例子与实际生活也相去甚远。为了培养学生解决实际问题的综合能力，亟须改进相对滞后的教学内容。

（三）教学模式落后

传统教学模式中教师占主导地位，课堂教学质量完全依赖于教师的教学水平，不能体现学生在教学中的主体地位。学生学习被动，没有机会去思考，提问和质疑，不能很好地调动学生的学习积极性，更无从培养他们的创新意识、创新思维和创新能力。

（四）考核方式单一

与传统教学模式相匹配的考核方式自然是考试成绩一锤定音，这种单一的评价体系导致学生往往通过做大量习题来提高成绩，而忽略了自身能力的培养。

为了彻底改变这种落后的教学现状，我们通过 “金课”建设，引入基于慕课的线上线下混合式教学模式［6］，其教学设计思想如图1所示。

图1 线上线下混合式教学设计图

三、概率论与数理统计慕课建设

作为大规模在线开放课程，慕课具有开放性、自主性和碎片化的显著特征。由于每个视频短小精悍，内容独立，学生可以自主掌握学习进度和内容，充分体现了自由度和能动性，因而受到广大学生的欢迎。但同时也带来缺乏师生互动及课堂氛围的弊端。大量数据显示，学生对慕课课程选课率高，但完成率低。这种现状无疑对慕课建设提出了更高的要求，而不能简单地把教学内容从教室屏幕搬到电脑屏幕上。我们教学团队（7人）利用6年时间致力于将知识传授、能力培养、应用创新教学目标设计在视频制作里，利用多元化信息技术极大丰富扩充了原有教学内容，精心创作开发出了高质量的精品慕课，并配套建设了慕课题库［7］。2018年底北京科技大学概率论与数理统计慕课已经在 “中国大学MOOC”平台成功上线，目前注册人数已达2万左右，并获得4.8分的好评。慕课视频录制的3位青年教师均为北京市或全国青教赛一等奖获得者，其中两位还获得了 “北京市高等学校青年教学名师”的光荣称号。

为了建设优质慕课，给学生提供精品视频，达到 “金课”建设的目标和要求，我们教学团队经过长期积累和努力，自主开发设计了大量应用案例，精美的动画演示及Matlab数值模拟，运用先进的教学手段使教学内容生动易懂，具有启发性、趣味性和高阶性。并将提出问题、分析推导、给出方法、应用案例及拓展外延的教学模式设计在每个教学视频内容的讲解中，使学生在自主学习过程中兴趣盎然，学会积极思考，运用所学知识解决实际问题，培养高级思维及解决复杂问题的综合能力［8］。并几乎在每个课程单元里都设计有应用拓展和内容外延的环节，增加教学内容的前沿性、挑战度，培养学生创新思维能力。

（一）知识点的划分

在线上学习环节中，视频学习处于核心地位。学生通过学习分散在每个视频中的知识点完成该门课程所有内容的学习。因此在课程体系的组织中，知识点的划分既要体现系统性，又要具有独立性，既能保持完整性，又能化整为零碎片化。在概率论与数理统计视频制作中，结合传统课堂教学经验，将概率论5章及数理统计3章的内容进行了知识点合理划分，并突出重点、难点的时间分配，增加了大量动画演示，数值模拟和应用案例，最终形成了57个既相互独立，又前后联系的教学视频。

（二）教学手段的先进性

1.动画演示，内容生动

在教学过程中，采用动画演示可以使抽象的数学概念、结果形象化，大大增强了课程的趣味性和直观性，有利于激发学生的学习兴趣，并提高对内容的理解程度。

动画：相关系数是用来描述两个随机变量之间线性关系的紧密程度的。但教材上的结论会让学生感到费解，不直观。如：（1）若ρXY＝±1，则Y与X有严格线性关系；（2）若ρXY＝0， 则Y与X无线性关系； （3） 一般有而动画演示会有一目了然的效果，使学生清楚地了解两组数据正、负相关；严格正、负相关以及不相关的状态，如图2所示。

图2 正负相关，严格正负相关动画演示

2.数值模拟，加深理解

为了发现统计规律，需要进行多次试验，这在传统教学过程中很难实现。为了在短时间进行大量重复试验，让学生能够对概率统计的结果有更深入、直观的理解，我们使用Matlab数学软件编程，模拟课程中涉及的各种实验，几乎每个重要的知识点都设计了计算机模拟演示。通过模拟演示，使学生直观地感受到实验的意义，验证得到的结果。同时，向学生展示了数学软件Matlab的强大功能，吸引学生对课程的兴趣。

（三）独立思考能力的培养

在过去的教学模式中，学生往往被动地接受知识，缺乏参与意识和学习目标，显然不符合培养具有批判性思维及创新能力新型人才的需求。为了使学生由被动思考过渡到主动思考，再提升到独立思考，每个慕课单元的教学设计中，对概念定理的讲解和分析都是以问题为导向，不断提问，不断解决，由易到难，逐渐递进。分析方法采用由表及里，由特殊到一般的归纳法，及由已知到未知的迁移法，使学生分析问题、思考问题的能力通过反复训练得到提升［9］。

举例来说，在介绍协方差定义的时候，传统讲法直接给出书上的公式，令人费解。以往的学生望而却步，放弃深究。我们现在的教学设计是，通过 “国内生产总值与政府卫生支出”的应用案例，引导学生通过观察、分析、思考、推导出协方差的概念，具体做法如下 （在大班课上实践后收到很好的效果）：

第一，问题的引入：选取2003—2012年国内生产总值 （GDP）、政府卫生支出 （GHE）数据记录如表1所示。

表1 GDP与GHE数据表 单位：万亿元

问题是研究随机变量X与Y之间的关系。X：GDP，Y：GHE，（X，Y）：二维随机变量。

第二，由动画演示 （见图3），可以直观观察到两个随机变量间有明显的线性关系，于是提出问题：这种线性关系如何量化？

图3 X （GDP）与Y （GHE）动画演示

问题导向虽然能够吸引学生积极参与思考，但是一开始基本上都是一脸愁云，一筹莫展。

第三，启发思考，是否可以通过平移坐标系，使两者关系有明显特征？应该如何平移？学生在问题的引导下，注意到随机点的中心位置：（x-，y-），当坐标系的原点移到这个中心位置时，它们关系的特征立刻清晰可见。居然正相关时位于一三象限，负相关时位于二四象限，学生们为此发现兴奋不已 （见图4）。

图4 正相关与负相关动画演示图

第四，进一步启发思考，一三象限、二四象限的特征如何数量化？引导学生进一步观察各随机点 （xi，yi） 到中心位置的偏差 （xi-居然发现一三象限偏差都为正，二四象限偏差都为负的特征，学生们为此几乎欢呼起来。

第五，进一步启发思考，能不能用一个数字特征来描述所有随机点的正偏差或负偏差？由于已经学过数学期望的概念，学生基本上都能两眼放光，马上会想到取平均值，于是得到平均偏差：

第六，进一步启发思考，离散的情况如何过渡到连续的情况呢？学生们立刻想到用数学期望取代算术平均值，于是得到协方差的一般定义：

通过以上过程，由观察现象到启发思考，逐步推动学生最终完成了一个数学概念的推导。它的意义在于追根溯源才能真正掌握概念的本质，而探究的过程是思考能力形成的过程。

培养学生独立思考能力是高等教育的使命，是我们最重要的教学目标之一。但独立思考能力不会一蹴而就，要通过长期启发引导训练，才能完成从被动思考到主动思考，再升华到独立思考的飞跃，线上线下混合式教学模式提供了这样的平台［10］。

（四）学以致用能力的培养

为了帮助学生掌握运用概率统计方法解决实际问题，我们自主开发了大量的应用案例 （85个）。通过每个慕课单元中实际问题的引出、分析、建模和求解，使学生能够逐步掌握如何解决实际问题。下面的应用案例给出了培养学生解决实际问题的完整过程。

在介绍二维连续型随机变量和的分布时，我们引入了食堂窗口规划问题：学校食堂每天中午为全校约10 000名学生提供午餐，假设每个学生在每个窗口打饭时间相互独立，都服从λ＝2的指数分布，为了能让所有学生以99%的概率在1.5小时内打完饭，至少需要开设多少个窗口（这个应用案例在大班课上实践后收到很好的效果）？

这是学生身边的实际问题，一经提出，立刻引起学生共鸣。虽然个个摩拳擦掌，跃跃欲试，但似乎一头雾水，找不到切入点。于是教师以问题为导向，通过提出问题，分析问题，最终解决问题。具体步骤如下：

1.分析问题：每个学生打饭时间都是随机变量，那么总服务时间是10 000名学生打饭时间的和：

Z＝X1＋…＋X10000.

进而提出问题：如何将实际问题转化成数学问题？

3.提出问题：两个相互独立的指数分布的和服从什么分布？学生们都会愉快地由卷积公式求出两个变量和的分布。然而再由这个结果推广到10 000个随机变量和的分布，学生们就力不从心了。在教师的帮助下最终可以推导出结果。

4.求Z的概率分布：推广得到10 000个随机变量和的分布，居然是伽马分布。学生们开心地欢呼雀跃。接下来碰到的困难是怎么用伽马分布计算概率呢？常规的办法已经失效，必须借助计算机求解。

5.利用Matlab软件求近似解：图5给出了取不同值时对应的概率取值情况。在99%的把握情况下，总服务时间不会超过5 117分钟。于是要在1.5小时内服务完毕，需要窗口5 117／90≈57（个）。学生们为得到这个答案，经历一波三折，跌宕起伏，特别享受终于到达彼岸的成就感。当学生自鸣得意的时候，再进一步引导思考，还有没有其他方法近似计算？为后期课程中心极限定理做铺垫。

图5 窗口数与概率的数值模拟

“学以致用”的教学目标不仅仅是美好的愿望，还必须通过长期训练来实现，因此线上线下混合式教学模式提供了这样的机会。学生们发现解决实际问题远比他们学习过程要更具有挑战性，不仅融合了他们所学的众多知识，而且必须具备编程能力才能完美解决。

（五）创新思维能力的培养

培养学生创新思维能力是 “金课”建设的重要目标，为此我们在几乎每个课程单元的教学设计中都安排有应用拓展或内容外延的环节，并作为开放性问题或研究内容留到线下课堂讨论中完成。作为课外作业，学生需要查阅大量中英文文献，自主学习，潜心研究，这个过程可以训练培养学生的开放性思维，使其创新能力逐渐形成。以下是应用拓展与外延的三个实例：

第一，在古典概型的讲解中，作为放球模型的应用拓展，我们引导学生课外研究生日攻击问题，了解放球模型在密码学中的应用。王小云院士2004年破解了非常著名的MD5 hash函数，使生日攻击等hash函数安全性问题再一次成为研究的热点问题。如何应用放球模型理解生日攻击问题，可以拓展学生的知识面与视野，大大激发学生的学习兴趣。

第二，在传统教材中，我们分别讲解了泊松分布和指数分布，但没有进一步讨论它们之间深刻的内在关系，造成学生对这两个分布的理解都不够到位。于是作为课外拓展，我们让学生通过自主研究，推导揭示它们之间的关系，深刻理解随机变量由离散型到连续型的转变以及它们在实际问题中的应用，写成小论文。如果有兴趣，我们还会鼓励学生进一步了解它们在运筹学的一个分支学科排队论里的应用。这样的课外研究我们会安排在线下课堂进行小组报告。

第三，数学期望与方差刻画了随机变量的数字特征，不仅是概率论中非常重要的基本概念，而且在实际问题中有着广泛的应用。美国著名经济学家哈里·马科维茨 （Harry M Markowitz），首次以均值和方差这两个数字特征来定量描述投资组合收益率的收益和风险，并建立了投资组合问题的均值—方差模型。由于他在金融领域这一开创性工作，荣获1990年诺贝尔经济学奖。作为开放性的问题，留给学生课后研究期望与方差在投资组合理论中的具体应用。

四、基于慕课的混合式教学课程设计

基于慕课的线上线下混合式教学模式是“金课”建设的一种积极尝试和探索，其核心在于将课堂教学内容从教室移至线上，从而释放出宝贵的课堂时间进行研究性学习和能力训练，实现了教学方式的根本变革［11］。教师的作用从“陪跑”变为 “领跑”，学生有机会由 “跟跑”变为 “奔跑”。这种全新的教学模式完全以学生为中心，能够最大限度地激发学生学习热情和积极性，启发他们独立思考，开拓他们创新性思维，锻炼他们运用知识的能力［12］。

概率统计课程48学时，线上线下时间各为24学时。教学团队根据教学内容制定出周密的教学计划，使线上、线下内容有机结合，并形成严格的学习进度表，在第一次上课时发给学生。在课程建设中，除了慕课题库外，我们还建设有随堂测验题库，方便教师随机选择使用。学生在完成线上自学后，线下课堂中通过对实际案例或开放性问题展开小组讨论，达到加深理解、提升知识应用能力的目的。

（一）课前完成线上自学

在这个教学环节里，学生通过视频学习、章节测验、讨论区活动、线上考试四个步骤完成学习内容。由于是自主学习，具有很大的随意性，因此教师必需制定统一进度表来加强管理。进度表应包括视频内容、随堂测验、知识点串讲及课堂讨论等各教学环节的时间节点。学生的自主学习需要按照统一进度表的要求在规定时间内完成自学内容，并为参与线下课堂讨论提前做好知识准备。在此环节中，教师的职责是随时了解学生在线学习情况，同时在讨论区教师答疑板块中及时回答学生的问题。并关注课堂交流区及综合讨论区中学生共性问题，以便在线下课程知识点串讲时强化重点，解决难点。

（二）课上完成知识点强化

厚基础，才能强能力，才能有创新。线上学习固然使学生有了充分的自主性和能动性，但也大大增加了基础不牢的风险性。因此需要通过随堂测验及教师串讲强化知识点，为学生打好坚实的基础。

1.随堂测验 （5分钟）

这个教学环节中，应重点关注学生对基本概念和相关理论的掌握程度，随堂测验每次设置5个客观题。教学团队对每个知识点的课堂考察都事先设计了难度渐进的5～10个客观题，可供教师选择使用，题目来自历年期末考题和考研题。测验可在 “云班课”等手机客户端上完成，学生答题结束后，即时显示答题情况，方便教师当堂针对错误率较高的题目进行讲解。

2.知识点串讲 （30分钟）

由于慕课教学视频将知识碎片化，学生对课程体系严重缺乏宏观整体概念，因此对于局部概念及结论的理解也会产生困难。于是需要教师每章开始前，引导学生建立各概念之间的联系。每章结束后，强化作为一章知识点的整体性。另外还需要强调章与章之间的联系及概率论与数理统计两大部分的联系，这个过程中可以培养学生去繁存简、透过现象看清本质的学习能力。串讲环节，除了完成提纲挈领的作用，还要对教学难点进行补充讲解。

（三）课堂讨论／报告／应用拓展

这个环节的设计必须充分体现 “金课”建设的 “创新性”目标，课程内容反映前沿性和应用性，教学形式呈现先进性和互动性，学习过程具有探究性和个性化。

培养学生开创性思维及创新能力是当今培养高质量人才的首要任务，是一个长期而艰巨的工作，需要教师对学科前沿的发展有充分的了解，才能不断发现新的有价值的问题，给学生提供自主研究的机会，为今后逐步形成他们的科研创新能力奠定基础。通过科教融合，开阔学生的视野，激发他们利用所学知识去学习和研究解决未知的问题。以下是该教学环节中三个开放性讨论的实例，并在随后本科创新项目里得到了解决。

第一，贝叶斯公式的核心在于估计和推断，其模式是用先验概率和样本信息推出后验概率。这个思想发扬光大，就是贝叶斯决策和贝叶斯统计。课后布置给学生研读贝叶斯决策和贝叶斯统计的内容，并分组报告。学生利用课外时间在本科创新项目里利用加权贝叶斯分类模型对北京科技大学本科英语四级考试通过率进行预测。通过对误判数据分析，改进了加权贝叶斯分类模型。实验表明，改进后的模型大大提高了预测结果的准确性。

第二，相关系数是描述两组数据间线性关系紧密程度的数字特征，在实际问题中有着广泛的应用。能不能将相关系数用于所学课程的试卷分析？作为开放性问题留给学生课外研究，再组织课上报告。学生在随后的本科创新项目里结合历年概率统计试题给出了用相关系数法，进行试卷难度、区分度及试题相关性的综合分析报告。

第三，区间估计是在总体分布已知的情况下对未知参数进行估计的一种重要方法，在工农业生产及经济领域都有着广泛的应用。但课上仅对正态总体参数的区间估计进行了详尽的分析和推导，并没有讨论非正态总体的情况。于是课后布置给学生自主研究非正态总体，比如均匀分布总体和指数分布总体参数的区间估计问题应该如何解决。学生在本科创新项目里，通过查阅大量中英文文献，以中心极限定理为基础，在大样本下把非正态总体问题转化为正态总体问题，并对指数分布及均匀分布总体参数的置信区间进行推导和研究。通过数值模拟与其他方法比较了置信区间的优劣，并把成果成功应用于产品质检和气温预测。

（四）课程考核方式多元化

课程评价体系是学生学习的风向标，具有指导意义。“金课”建设的目标是培养学生独立思考能力，知识运用能力及创新思维能力，但如果这些能力的培养不作为考核内容进入课程评价体系，那将雷声大、雨点小，收效甚微。为此我们首次将能力培养定量化考评计入最终课程成绩。由于混合式教学模式中，每个教学环节都充分体现了“以学生为中心”的理念，因此我们注重学习过程，进行多元化考核。该课程最终的成绩评定是，线上学习成绩占 （15%）、随堂测验占（5%）、课堂讨论／报告占 （20%）、期末闭卷考试占 （60%）。具体评分标准见表2。

五、结束语

通过 “金课”建设，混合式教学模式彻底改变了落后的教学现状，采用先进的教学方式和教学手段，打造具有前沿性的教学内容，探索全新的课程评价体系对提升教学质量及教学水平、培养一流人才都有着积极的推动作用。建设高质量的概率统计课程是一项长期而艰巨的任务。我们教学团队要继续建设好慕课，进一步完善线上线下混合式教学课程设计与实践，深化课堂教学改革，努力实现真正的具有高阶性、创新性和挑战性的 “金课”目标。