非多重集群音程循环算法与有限移位模式的拆分

非多重集群音程循环与梅西安有限移位模式具有同构关系，本人在《非多重集群音程循环算法与有限移位模式拓展》一文中 已经计算出了相关运算数据，并引申出5种新的具有非多重集群音程循环特点的有限移位模式以及相关运算公式即 ：

Ord.PCI（1，3）-Cycle  SUM=4 d=4 L=6 四次移位，音数6; （六声音阶）

Ord.PCI（1，2，3）-Cycle 0 1 3 6 7 9 0 SUM=6 d=6 L=6 ;六次移位，音数6，

Ord.PCI（1，3，2）-cycle 0 1 4 6 7 10 0 SUM=6 d=6 L=6，六次移位，音数6，

Ord.PCI（1，5）-Cycle 0 1 6 7 0 SUM=6 d=6 L=4，6次移位，音数4。

下文笔者通过拆分运算模型对相同的有限移位模式进行了不同可能性的音列拆分并总结运算过程。

一、相同有限移位模式拆分不同非多重集群音程循环的可能

以音程循环的方式去看待有限移位模式时，便会发现同一有限移位模式可以拆分为不同的非多重集群音程循环的可能，如以：（4，5）-cycle，为循环该循环产生一个八声音阶，即04916T37，同时 Ord.PCI（1，2）也能产生一个相同的八声音阶，即0134679T0，经验证两者是完全相同的音阶结构。

那么我们便可以发现这两个循环的SUM值9与3，在模12空间内为互补关系，即它们与12的最大公约数相同。因此依据爱德华所提供的双音程混合循环音数长度计算公式：

“L=2（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y（mod12）”则它们的音数必然是相同的，即d值不变的情况下，L是等值的。

因此我们便可以在音数不变的情况下，只需确保新的循环中每次循环的音高级结果仅一次出现在原始的有限移位模式中，便可将所有有限移位模式尽数拆分。笔者在计算出除梅西安第一有限移位模式单音程循环外的其他六种具有非多重集群循环特性的有限移位模式，以及新生成的五种有限移位模式的所有可用混合音程循环拆分结果。结果中仅列出拆分后的原始排列，其转位形式可以通过顺次将第一个有序音级音程移至最后来求得。如（1，8）cycle其转位包括（8，1）。 （2，1，5）cycle其转位包括（1，5，2）（5，2，1）。

二、相同有限移位模式拆分不同非多重集群音程循环的运算方式

（1）双音程循环的有限移位模式拆分步骤

设：SUM=x+12n（n为自然数），双音程循环为（a，b）-cycle.

a+b=SUM=x+12n，则b=x+12n-a

为确保音程循环所生成的音高级仅出现一次则，

a+b+a≠12n，且b+a+b≠12n，

则a+b+a=a+x+12n-a+a=x+12n+a≠12n，;

b+a+b=2x+24n-2a+a=2x+24n-a≠12n

则确定所要拆分的模式原型，并列出音列，确定SUM值x，带入公式上一步公式中，确定a的值≠多少，并顺次带入音列中音高与0的音程差，求得所有可能。如（1，5）cycle模式展开为0 1 6 7 0;SUM=6，带入x+12m+a=6+12n+a≠12n，则a≠6，带入2x+24n-a=12+24n-a≠12n，则a≠0，则相对于该模式a只能等于1或7，并算出相应的b值，可得循环（1，5）;（7，11）.

（2）三音程循环的有限移位模式拆分步骤

三音程循环的有限移位模式拆分需先将SUM拆分为两个音程的循环，方法见双音程循环有限移位模式的拆分。则在拆分为双音程的基础上（a，b）cycle，将b拆分为c、d.便可得到三音程循环（a，c，d）-cycle，则为了确保该三音程循环所产生的音高级仅出现一次，则a+c≠12n，d+a≠12n. a=SUM-c-d，带入可得SUM-c-d+c≠12n，则SUM-d≠12n，SUM-c-d+d≠12n，则SUM-c≠12n，顺次带入所要拆分的有限移位模式中的音高级差值，得出所有结果。如，模式五（1，4，1）cycle展开为0 1 5 6 7 11 0，则依据双音程循环的拆分法可以得到a≠6，且a≠0.将SUM值6带入三音程循环拆分的两个范围公式可得6-d≠12n;6-c≠12n;则d，c均不等于6.第一步拆分为（1，5）（5，1）（7，11）（11，7）第二步拆分为，（1，4，1）（1，10，7）（5，2，11）（5，8，5）（7，4，7）（7，10，1）（11，2，5）（11，8，11）

（3）四音程循环的有限移位模式拆分步骤

四音程循环的有限移位模式拆分，需先将有限移位模式拆分成三音程循环的有限移位模式，方法见三音程循环的有限移位模式拆分。将（a，c，d）-cycle拆分成（a，c，e，f）-cycle，则为了确保该四音程循环所产生的音高级仅出现一次，则c+e≠12n;f+a≠12n，SUM-e或f不等于12n，顺次带入所有音程差，求得所有可能。如我们以模式四（1，1，3，1）-cycle为例，先将其拆分成三个音程的循环，我们以其中一个（5，2，11）则e≠10 f≠7 e或f不等于6，则顺次带入所有音高级差可得（5，2，1，10）（5，2，7，4）

（4）五音程循环有限移位模式的拆分步骤

五音程循环的有限移位模式的拆分，需先将有限移位模式拆分成四音循环的有限移位模式，方法见四音程循环的有限移位模式的拆分。将（a，c，e，f）-cycle拆分成（a，c，e，g，h）-cycle，则为了确保该四音程循环所产生的音高级仅出现一次，则h+a≠12n，g+e≠12n，c+e+g≠12n，h+a+c≠12n，SUM-h或g≠12n.顺次带入音列中的音高级差，求得所有可能。如以模式七（1，1，1，2，1）-cycle为例先将其拆分为四音循环模式，我们以其中一个（11，4，5，10）为例，则g不等于7或3，h不等于1或9，g与h均不等于6，顺次带入音高级差，可得（11，4，5，5，5）（11，4，5，11，11）两种可能。

三、有限移位模式拆分不同非多重集群音程循环的结果列表

在对相同有限移位模式拆分成不同非多重集群音程循环的实验中，得到了对11种有限移位模式拆分为不同非多重集群循环的列表，并总结出算法过程。该表中的数据可以应用于创作与分析研究，同时该分类表具有对艾伦福特音集集合理论应用在音程循环方面的解读，笔者将另作文章进行研究论述。

課题项目：周口师范学院校本项目ZKNVB32 01808

参考文献：

[1]张晨明：《浅谈爱德华格林音程循环参数算法理论》《音乐生活》，2019年第9期。

[2] 2007. “Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

张晨明 周口师范学院音乐舞蹈学院助教