立体几何平行或垂直问题解题策略

黄森宏

【摘要】高考立体几何试题具有较强的综合性与交汇性，是每年高考的必考内容，考试突出综合性，重视基础知识、基本技能，突出空间想象、数形结合思想等思想。对于高中立体几何有关平行垂直的证明与求解，需要对判定定理与性质定理，平面图形性质及结构特征，线线、线面、面面关系三者的互相转化等等非常的熟悉与熟练。我们通过挖掘图形特征，逐句提炼出所需平行或垂直信息及可能做的辅助线，熟练运用线线、线面、面面的平行或垂直的性质定理及互相转化关系，形成严谨的推导能力。

【关键词】立体几何 图形特征 平行垂直 性质定理 辅助线 点线面相互关系的转化

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）14-095-02

立体几何在高考中占有非常重要的地位，在高中数学知识系统中的占比比较大，一般理数占22分、文数占22-27分，其题型与题量一般是1个解答题，理数2个小题，文数2-3个小题，小题位于5-8是中等难度的题目，另一小题是11-12题或填空的最后一题的位置，大题一般在第18题的位置，基本都突出考查平行垂直问题。立体几何试题有较强的综合性与交汇性，考试突出综合性，重视基础知识、基本技能，突出空间想象、数形结合思想等思想。在多年的教学经历中，对于高中立体几何有关平行垂直的证明与求解，需要对判定定理与性质定理，平面图形性质及结构特征，线线、线面、面面关系三者的互相转化等等非常的熟悉与熟练，所以学生普遍对此存有一定的畏惧心理。那么我们应该如何有效地解决立体几何中的平行垂直问题呢？下面我简单归纳立体几何中平行与垂直的知识架构。

1.如图，多面体中ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=2， DF=BE=1， AF=CE= ，且平面ADF⊥底面ABCD.平面BCE⊥底面ABCD 求证：EF⊥平面ADF

在解决数学问题的时候，我们首先要明确所需解决的是什么问.题，很明显，这道题考查的是线面垂直，这是属于垂直的问题，下面我们再根据条件提炼垂直信息。

①底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，这里有表格里出现的信息。我们发现△ABD是等边三角形，那它很可能要作△ABD其中一边的中线，因为有“三线合一”的性质。当然菱形也还有对角线互相垂直这个信息点。那基本上很可能就要作中线这条辅助线。

②AB=2，DF=BE=1，AF=CE= ，这里出现边长，很可能要通过计算提炼出垂直信息，我们发现，通过计算用勾股定理可得出∠AFD与∠BEC都是直角，其中二个锐角还是30度与60度的锐角。

③我们再看第三句，平面ADF上底面ABCD，平面BCE⊥底面ABCD，那么很明显需要用到面面垂上的性质定理，也就是很可能要作辅助线是过点F作直线AD的垂线，过点E作直线BC的垂线这二条！到现在，我们把每个条件都提炼了，接下来就是证明，证明过程如下。

证明：分别过点E，F作BC，AD的垂线，垂足为N，M，连结MN，

这道题很好地用到了平面图形的特征，面面垂直的性质定理，我们很顺利地作出解决问题所需的辅助线，然后运用线面垂直的判定定理，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力，很好地启发了学生的思考能力，培养了学生的逻辑思维能力，提升了学生的计算能力！提升了学生解决问题的能力1

2.梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2，AD=AB=1，四边形BDEF为正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD.

（1）求证：DF⊥CE.

（2）若AC与BD相交于点0.则在棱AE上是否存在点G，使得平面OBG∥平面EFC？并说明理由。

证明（1）连接EB.

这些例子通过研究各平面图形，挖掘图形特征紧抓图形特征，从图形特征中，从题目的条件找出可能需用到的定理，进而找到所需做的辅助线，同时熟练掌握并记忆线线，线面，面面的平行或垂直的性质定理及它们之间的互相转化，做到这些，离解决问题就成功了一大半。同时加强学生的书写规范，做到能完整地写出证明与求解过程！形成线线关系，线面关系，面面关系三者相互转化的推导能力。做到分分必争，分分必得！让学生学起来有成就感，体会到学习数学的乐趣，让学生学会学数学，乐于学数学，在数学这个学科上，真正地爱上数学！也是我们数学人共同的愿望！

【注：本文系广东教育学会教育科研规划小课题“立体几何平行垂直的证明及解題的方法与策略研究”成果（课题编号：GDXKT22002）】