自主探究促发展深度学习提素养*
——以“探索三角形的相似(2)”教学为例

江苏扬州仪征市第三中学

近来“核心素养”成为一个热词,培养学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界的核心素养成为每一位数学教师的追求,那么,作为一名初中数学教师,课堂教学中该如何让这一核心素养落地生根呢,这是笔者最近一直在思考的问题.近日,在南京市骨干教师汇报课展示活动中,笔者有幸听了一节初二的数学课,课题是“探索三角形的相似(2)”,给笔者留下深刻印象.

1 教学片段实录

上课开始,教者提问:上一节课我们学习了相似三角形的定义,请大家回忆一下,什么样的三角形是相似三角形呢?

生齐答:形状相同大小不一定相同的三角形.

师:如果两个三角形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例,反过来,两个三角形具备怎样的条件就相似了呢?

生齐:根据相似三角形的定义,所有的边对应成比例,所有的角都相等的两个三角形相似,另外还有A字型相似.

师:定义是性质和判定的生长之根,在定义的基础上结合平行线等分线段成比例生长出了A字型相似.

师:请大家回忆三角形全等的判定方法,你能否类比得出三角形相似的判定方法?

生1:我觉得可以弱化条件,就是减少已知条件.

师:对,我们一开始判定两个三角形全等用的方法是三个角对应相等,三条边对应相等,然后减少条件,得出了三角形全等的判定方法,大家回忆一下得出了哪些判定方法?

生2:SAS,ASA,AAS,SSS,另外还有HL.

师:好,下面就请大家仿照探索全等的方法看看两个三角形相似需要哪些条件?给大家几分钟时间探索一下.

生3:我想到的方法是类比SSS可以看这两个三角形的三边是否成比例,如果三边成比例,那么两个三角形应该相似

师:说说你的理由.

生3:我觉得可以根据三角形的稳定性来判定,一个三角形三边如果确定了,这个三角形形状和大小就确定了,所以两个三角形三边确定且成比例的话,这两个三角形应该相似.

生4:我觉得两个三角形如果三个角相等,这两个三角形相似,因为三个角相等的两个三角形形状应该是相同的,大小不一定相同,所以相似.

师:很好!还有其他方法吗?

生5:我觉得有两个角相等就可以了,因为根据三角形内角和定理可以知道一个三角形两个角确定了第三个角也就确定了.

生6:我觉得可以类比SAS得出两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,因为如果把两个相等的角的顶点放在一起,根据缩放可以判定相似.

师:对于以上几种猜想,大家如何理解它的合理性?同学们交流一下.

于是,大家开始积极研讨交流.过了一会儿,就有学生积极举手发言.

生7:我觉得可以先找一些特例来验证一下.

生8:我觉得特例不能说明问题,应该进行证明.

师:好!那我们下面就来证明,我们先从两边成比例且夹角相等的两个三角形相似来证明,出示幻灯片:

已知:如图1,在ΔABC与ΔA′B′C′中,

图1

求证:ΔABC∽ΔA′B′C′

师:请同学们探索证明的方法.

生9:把ΔA′B′C′“挪”到ΔABC上去.

师:好,这个“挪”字怎么理解?

生9:如图2,在AB上截取AD=A′B′,在AC上截取AE=A′C′,连接DE.这样构造出的ΔADE∽= ΔA′B′C′(易证).

图2

师:好的,然后怎么办?

生9:再证ΔADE∽ΔABC,最后转化为ΔA′B′C′∽ΔABC.

师:试试看能否沿着这个思路做下去.

师:这个方法可行吗?

生10:不可行,无法证明ΔADE∽ΔABC.

师:有办法解决这个问题吗?

生10:如图2,只要把作辅助线的方式改变一下就可以了,把“在AB上截取AD=A′B′,在AC上截取AE=A′C′,连接DE.”改成“在AB上截取AD=A′B′,过点的作DE//BC,交AC于点E.”这样也能使ΔADE∽= ΔA′B′C′,由DE//BC可直接证出ΔADE∽ΔABC.

图3

师:这位同学完美的解决了这个问题,我为你点赞!

师:还有其它的想法吗?

生11:把ΔA′B′C′的边B′C′和ΔABC的边BC放到同一条直线上,构成如图3所示的大ΔDBC.

师:这个办法也是可行的,同学们下课可以尝试按这个思路来证明.

师:我们探索了什么?如何探索?还能继续探索什么?

生12:我们探索了判定三角形相似的条件,采用了类比三角形全等判定的几种方法,通过作辅助线(平行线)将问题转化为可以利用前面学过的平行线等分线段成比例,相似三角形的定义,A字型相似的模型加以解决.

生13:我们还将继续探索这节课还没解决的“三边成比例的两个三角形相似”以及“两角分别相等的两个三角形相似”这两种猜想的证明,还要探究相似三角形具有的性质.

生14:后面还要运用相似三角形的定义,性质和判定方法来解决问题.

师:同学们想的非常全面,这些都是我们今后一个阶段要去研究的.

2 课后访谈与调查

笔者听了这节章节统领课后,眼前一亮,觉得这是一节难得的好课,因此很想了解教者对这节课的设计意图和教后体会,也想了解学生通过本节课的学习感受.于是对教者进行访谈,并对学生进行问卷调查.

2.1 与教者的访谈交流

笔者:您这节课的设计很巧妙,没有直接按课本上的顺序来教,而是打破教材的顺序,说说你这节课的设计的思路?

师:这是我们南京最近研究的一种新的课型,也就是章节的小统领课.我们数学教材中每一章的开头都有一些文字和图片,目的是让学生对本章的内容和知识框架有一个全面了解,但实际教学中,老师们往往忽视了这一部分内容,直接开始知识点的教学.其实,章节统领课的重要性不亚于建筑物地基的重要性,它是学生掌握数学知识的关键环节,它对一章起到统整引领,是章节的序幕,它一方面承载着激发学生兴趣,增强学生的学习信心,初步感知学习本章的价值和意义,对后继学习起引领指导和组织的作用;另一方面,还承载着帮助学生建构策略性知识的重要价值,为学生提供学习章节知识的框架和基本线索,搭建沟通章节知识的桥梁,除了显现知识的教学,还应包括对本章内容的介绍研究思路和方法的整体构建,让学生既见树木,更见森林,从而提高学生的整体意识、提升学生的数学素养,所以本节课我就按照学生认识事物的通常规律,先从相似三角形的定义出发,引导学生类比研究三角形全等的判定方法,构建研究相似三角形的路径,让学生通过自主讨论,归纳得出了相似三角形的判定方法,从而获得了对本节内容的整体认识,

笔者:您的教学活动的设计意图是什么?

师:(1)主要通过课堂上学生们自主讨论,并开展交流式、追问式、总结式、反思式等多种方式的对话交流、思维碰撞,层层深入问题的本质,暴露出学生们探讨问题时的思维障碍,让他们体会这类问题的一般的研究思路,积累数学活动经验,从而提高学生自主学习的能力.(2)数学教学的核心目标之一,是让学生理解或掌握研究数学的方法,最终达到培养学生思维能力的目的,通过这样的自主研讨课,我觉得可以培养学生的反思与质疑意识和发现问题的能力,让学生学会做一个会思考的人.

笔者:通过这节课的教学,您有哪些体会?

师:这节课学生的学习活动应该说超出了我的预期,这是课前没想到的:(1)生9和生10的证明方法我觉得学生应该很难想到的,生9 想到了将一个三角形“挪”到另一个三角形上去,生10接着补充完善了证明方法,这在以往的教学中我是多次启发后学生才能想出来,而今天这两位同学立刻想出来,应该是不容易的;(2)我觉得数学课的教学一定要让学生学会学习,千万不要认为学生不会想,而不停地说教,要放手让学生讨论,要激发他们的兴趣,培养他们自主学习的能力,长期积累,学生数学素养就会得到提升.

笔者:您认为教学效果如何?

师:我个人认为实现了预期的教学目标,而且又有新的生成,通过学生们不断探究揭示了数学本质,从课堂气氛来看,所有的学生都能积极参与研讨,我觉得他们是有收获的,应该达到了深度学习.

2.2 对学生的调研分析

为了便于对学生调研,笔者设计如下表格的问卷,发放给教者所上课班级的学生,共发放54份,收回52份.(如表1)

表1 调查问题

经过统计分析,发现表格中的这几个问题选A的百分率分别达到了82%,87%,89%,97%,94%,92%,可以得出这样的结论:学生非常喜欢上这样的课,这样的课堂教学效益很高,课堂上学生的学习积极性完全被充分激发出来,他们觉得自己是课堂的主人,他们自己的想法得到了充分的展示.

3 听课及访谈调研后的思考

为什么数学课有的同学不喜欢上,数学课堂上如何提升学生学习的主动性,让每个学生都能动起来?这节课无疑做了一个很好的示范.

3.1 基于学生基础,把学生的思维作为课堂教学的起点

本节课是相似判定的小章节统领课,也是研究相似判定方法的起始课.它的核心作用有两个:一是让学生获得这一章所要研究的对象的整体;二是让学生初步构建研究相似判定的方法.在本节课中,教者根据学生已经系统研究了三角形全等的判定方法后,通过创设一系列学生熟悉的、感兴趣的问题情境,引起学生学习的兴趣,激起学生的好奇心、发现欲,从而产生认知冲突,诱发质疑猜想,唤醒强烈的问题意识,启发学生思维,让学生类比猜想得出三角形相似的判定方法.整节课教学,教者从学生的基础出发,基于学生认知规律,把学生的思维作为课堂教学的起点,因势利导进行教学,无疑使学生能水到渠成的获得了新的知识,这样的教学既能使学生了解知识的源头、发展和去向,又能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识,让学生感受学习相似判定方法的价值和意义,为他们进一步学习指明了路径,起到了很好的引领与示范作用.

3.2 基于对话交流,利用提问驱动学生学习的动机

根据观察,以往的课堂教学中,大部分老师教学时不关心学生的思维障碍在哪里,课堂上只是按照自己的思路讲课,无视学生的基础和感受,这种教学助长了学生思维的被动性,长此以往,部分学生的思维就跟不上老师讲课节奏,渐渐的就对数学课失去了兴趣.Knud Illeris 教授认为动机维度是学习中的一种重要和不可或缺的要素,它以动机、情绪、态度和意志模式出现,至少与学习的内容和结果同等重要.动机常常会是一个“认知不协调”问题,即一个人经历的事物是与他的观念相冲突的.而“认知不协调”的问题常产生于问题驱动[1].本节课中,教师在学生思维“最近发展区”倡导思维风暴,通过一系列问题,如“大家仿照探索全等的方法看看两个三角形相似需要哪些条件?”“还有其他方法吗”“有办法解决这个问题吗?”“如何理解它的合理性?”“我们探索了什么?如何探索?还能继续探索什么?”等引发认知冲突,激发学生探究学习的动机,让学生在独立思考的基础上合作交流,使学生自行解决“思维障碍”.整节课,几乎没有学生置身度外,而老师只是不断适时提出问题,启发学生思考,而且学生们获得这些知识觉得很自然,没有被动感,增强了学生学习数学的自信心,并且老师不断地对学生的回答给与肯定和表扬,让孩子们学习的动机得以激发和持续.

3.3 基于对话交流,利用提问驱动学生学习的动机

数学教学的核心目标之一,是让学生理解或掌握研究数学的方法,最终达到培养学生思维能力的目的.通常,章节的小统领课的教学,不适合对知识的具体细节做过多的追究,教学的目标主要是让学生了解本章的内容框架,让学生体会研究本章问题的基本思想方法.如本节课中要突出的是类比和转化的基本思想.本案例中教师不断通过问题引导学生质疑和反思,层层深入问题的本质,学生主动利用已有知识经验寻找解决问题的突破口,通过类比研究三角形全等的判定方法来探究三角形相似的判定方法,学生经历了观察、归纳、类比、抽象、猜想、证明的过程,积累了数学活动经验,体会了研究几何问题的一般思路.从三角形全等到三角形相似的研究,是对类比这一数学思想方法的有机渗透,证明两个三角形相似转化为前面的A 字形图形证明突出了转化思想是解决问题的重要策略.这些思想方法贯穿始终,润物无声地有效渗透,对学生良好认知结构的构建、优秀思维品质的形成都将起到积极的推动作用,促使学生深度学习,很好地培养学生的数学核心素养.