渗透转化思想，促进思维发展

胡汉生

摘要：通过挖掘教材中例习题的潜在价值，不但可以把彼此孤立的知识串联成线，融会贯穿，而且可以优化学生的解题方法，促进数学思维发展。在最短路径问题中渗透了转化思想，如果学生一旦掌握数学思想方法，就能举一反三，触类旁通，有效培养学生解题迁移能力。

关键词：最短路径;  转化思想;  解题迁移;  思维发展

如何上好九年级复习课，提高中考备考效率，历来是每位毕业班教师最为关注的问题。纵观近年全国各地中考试题，虽说千变万化，但万变不离其宗，其宗旨就是：研读课标，挖掘教材。简单来说，研读课标即研读教育部颁发的《义务教育数学课程标准（2011年版）》，挖掘教材则是有效地开发和利用教材资源。2020年是用课标作为命题依据的第一年，所以要加强现行教材内容的研究。通过挖掘教材中例习题的潜在价值，不但可以把彼此孤立的知识串联成线，融会贯穿，而且可以优化学生的解题方法，促进数学思维发展。

例如，《北师大版义务教育教科书·数学》（七年级下册）第123页有这样一道习题：

如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？

这是一道最短路径问题，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。具体如解法图形所示：作点A（居民区A）关于直线l（街道）的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求点。最短路径问题是当今中考的热点题型，通常会以三角形、四边形、圆、函数、立体图形等为背景，重在考查学生对知识的迁移能力。

无独有偶，最短路径问题还出现在《人教版义务教育教科书·数学》（八年级上册）第85页的课题学习中。本文结合近几年全国各地中考试题，就最短路径问题究其本质，分类整理，探索解决此类问题的具体备考策略。

1  以三角形为背景

例1如圖，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，EM+CM的最小值为（    ）

A. 4                           B.

C.D. 3

分析：要求EM+CM最小值，首先应分析点M位置。根据等边三角形“三线合一”的性质易知，点C的对称点是点B，连接BE交AD于M，此时EM+CM最小值即是BE的长.

解答：如图，连接BE.

∵点B和点C关于直线AD对称，∴MB=MC，

∴BE就是EM+CM的最小值.

∵等边△ABC的边长为6，AE=3，∴CE=3

∴，∴EM+CM的最小值为3.

点评：本题考查的是最短路径问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.

2  以四边形为背景

2.1  正方形

例2已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）

A.8

B.10

C.11

D.12

分析：要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置。根据正方形的对角线互相垂直平分易知，点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长.

解答：如图，连接BM.

∵点B和点D关于直线AC对称，∴NB=ND

∴BM就是DN+MN的最小值

∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，∴CM=6

∴，∴DN+MN的最小值是10.

点评：解答本题的关键是读懂题意，因DN、MN不能直接求，故考虑通过作辅助线转化DN、MN的值，从而求出其最小值.

3  以圆为背景

例5如图，AB是⊙O的直径，AB=6，点M在⊙O上，∠MAB=30°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（    ）

A.3             B.3

C.6             D.6

分析：要求PM+PN的最小值，可作点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P′，由“两点之间，线段最短”易知，点P′即为PM+PN最小时的位置.

解答：如图，作点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P′，点P′即为PM+PN最小时的点P的位置，连接OM，ON，ON′，MN′.

∵N是弧MB的中点，∴∠MAB=∠NOB=∠MON=30°，

∴∠MON′=90°，∴△MON′为直角三角形.

∵AB=6，∴ON′=OM=3.根據勾股定理可得MN′=3，

即PM+PN的最小值为3.

点评：本题主要考查轴对称——最短路径问题，直角三角形的性质等，确定点P的位置是解题的关键.

参考文献：

[1]马复.北师大版义务教育教科书·数学（七年级下册）：北京师范大学出版社，2017：123.

[2]高峰.2020年广东中考高分突破：世界图书出版公司，2019，181.

[3]武泽涛.万唯中考试题研究：新疆青少年出版社，2019：183-184.