大尺度湿大气原始方程组对黏性系数的连续依赖性

李 远 飞

(广东财经大学华商学院 数据科学学院, 广州 511300)

为建立以数学物理方法为基础的数值天气预报, 文献[1]引入了大气原始方程组和海洋原始方程组, 其模型包括带科氏力的流体力学方程组、 热动力学方程和状态方程等. 由于该方程组较复杂, 因此人们对其进行了简化. 例如： Lions等[2]通过引入黏性参数, 重新建立了干大气原始方程模型; 文献[3-4]建立了海洋原始方程组; 文献[5]引入了耦合大气-海洋模型. 在利用大气、 海洋原始方程组研究数值天气预报时, 首先需考虑这些方程组是否具有适定性[6-15]. 例如, Guo等[6-7]利用精细的能量估计得到了干大气原始方程组光滑解的整体存在性以及湿大气原始方程组的整体适定性[8].

目前, 关于原始方程组的稳定性研究也得到关注： 文献[16]考虑了柱形区域上带振荡随机力的大尺度海洋三维原始方程组的连续依赖性, 证明了解对黏性系数的连续依赖性； 文献[17]利用方程微分不等式技巧和能量估计的方法, 证明了大尺度海洋大气动力学三维黏性原始方程的解连续依赖于边界参数. 基于此, 本文在模型中考虑水汽比的影响, 这种类型的方程称为湿大气原始方程组. 本文讨论这类方程组的解对黏性系数的连续依赖性, 通过解的先验估计和能量估计得到主要结果.

1 预备知识

本文约定：M表示平面区域2上的一个有界光滑区域；Ω=M×(0,1)表示3的一个带状区域；Γ0∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈M,x3=0};Γ1∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈M,x3=1};Γs∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈∂M, 0≤x3≤1};n表示Γs上的外单位法向量；表示Γs上的外单位法向导数；表示对z的偏导数;此外, 本文还约定求导表示为

考虑定义在Ω×(0,∞)上的湿大气原始方程组

其中:v=(v1,v2)表示水平速度场;w表示垂直速度;T表示温度;q表示空气中的水汽比;Φ表示压力;μ1和μ2分别表示水平方向和垂直方向的黏性系数;κ1和κ2分别表示水平方向和垂直方向的热扩散系数;ν1和ν2分别表示水平方向和垂直方向的水汽扩散系数;Q1和Q2是已知函数, 分别表示热源和水汽源. 方程组(1)-(5)在Ω的边界上满足:

其中A,B是大于零的常数. 此外, 方程组(1)-(5)有下列初始条件:

v(x,0)=v0(x),T(x,0)=T0(x),q(x,0)=q0(x), 在Ω×{0}上,

(9)

其中v0(x),T0(x),q0(x)是非负的连续函数.

由方程(3), 可得

(10)

又因为w|Γ0=w|Γ1=0, 所以

(11)

同理, 对方程(2)从0到x3积分, 可得

(12)

其中Φ0=Φ(x1,x2,0,t). 将式(10),(12)代入方程组(1)-(5), 可得

且有下列初边值条件:

2 先验界

引理3设(v,T,q)为系统(13)-(15)在边界条件(6)～(9)下的解, 且v0,T0,Q1∈L2(Ω), 则

证明： 在方程(13)的两边乘以v, 并在Ω×(0,∞)上积分, 可得

在方程(14)的两边乘以T, 并在Ω×(0,∞)上积分, 可得

将式(23)和式(24)相加, 并注意到

可得

利用Hölder不等式, 可得

由式(25)可得

(26)

对式(26)积分, 可得

将上式代入式(25), 即可得结论.

qm=max{‖q0‖∞,‖h‖∞,‖Q2‖∞}.

证明： 在方程(15)两边乘以qs-1, 并在Ω上积分, 可得

利用散度定理、 Hölder不等式和算术几何平均不等式, 可得

(28)

(29)

把式(28),(29)代入式(27), 可得

再由Gronwall不等式, 可得

所以

令s→∞, 即可得结论.

引理5[21]设(v,T,q)为系统(13)-(15)在边界条件(6)～(9)下的解, 且v0,T0,Q1,Q2∈L2(Ω), 则

其中ρ2(t)是关于时间t>0的连续函数.

进一步, 利用引理2、 引理3和引理5, 可得

(31)

(32)

3 主要结果

其中式(33)中忽略了零项. 利用Hölder不等式、 引理3、 引理5、 式(30)和引理2, 可得

其中ε1和ε2是大于零的任意常数. 利用散度定理、 Hölder不等式、 引理2和式(31), 可得

其中ε3和ε4是大于零的任意常数. 同理, 有

(36)

(37)

其次, 记

(39)

于是

类似式(34)的推导, 可得

其中ε5,ε6,ε7,ε8是大于零的任意常数. 类似式(35), 可得

最后, 记

(44)

于是

应用分部积分、 Hölder不等式、 引理3～引理5, 可得

将式(46)代入式(45), 可得

下面定义一个能量表达式：

结合式(38),(43),(47), 可得

其中:

在式(48)中取适当的ε4,ε6,ε7,ε9, 使得

舍弃非正项, 可得

其中:

再利用Gronwall不等式, 可得

结合E(t)的定义, 可得: