关于对算术基本定理证明的再认识

(喀什大学数学与统计学院，新疆喀什 844000)

算术基本定理或唯一因子分解定理指出：每个大于1 的整数均可以唯一地表示成一些素数幂的乘积.下文均称唯一因子分解定理.这个重要定理有多种证明方法和应用[1-3].在初等数论中，用于研究Riemann-zeta 函数就是其最重要的应用.

设s∈C 且Re s＞1，则Riemann-zeta 函数由

所定义.当你第一次看到这个函数时，根本不清楚为什么它值得研究，或者为什么凯莱数学研究所提供100 万美元用于资助研究其零点的位置问题！事实证明，Riemann-zeta 函数是数论中最重要的函数之一.由唯一因子分解定理，可将 Riemann-zeta 函数重新改写为乘积形式，即若Re s＞1，则

其中P 是素数的集合[4].Riemann-zeta 函数的这种关系是许多数论问题研究的出发点.虽然整数可表为素数的乘积，但是要准确掌握素数的分布和性质却是十分困难的[5].相反，整数就很好理解.比如，素数17483 之后的下一个素数是什么?（是17489）并不是显而易见的；但是，我们却很容易找到17483 之后的下一个整数！然而，由于和与积是等价的，所以我们可将整数的信息转换为素数的信息，而解决问题的关键在于证明唯一因子分解定理.

本文的目的不只是为了讨论唯一因子分解定理或类似结果的证明，而是要强调在试图证明某个命题时，如何巧妙地应用假设所蕴含的事实.

定理1（唯一因子分解定理）每个大于1 的正整数均可以唯一地表示成一些素数幂的乘积.

分析：证明要分两个步骤.

（1）证明每个整数至少可写为两种素数幂的乘积，即存在性；……