拓展分析 归纳方法

张丹

同学们要善于在解题后进行反思，把解题过程中发现的规律或结论，进行拓展，归纳出深层次的方法或经验.这样不仅有利于今后解题时自我指导，还能在拓展的过程中巩固所学知识，感受数学魅力.并且在潜移默化中提升自己的数学素养.张老师以一道课本习题为例，抛砖引玉，希望能给同学们一些帮助，

例1 （人教版数学教科书七年级下册第70页第8题）建立一个平面直角坐标系，描出点A （-2，4），B（3，4），画直线AB.若点C为直线AB上任意一点，则点C的纵坐标是什么？想一想：

（1）如果一些点在平行于x轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？

（2）如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点？

解析：如图1所示，直线AB即为所求，若点C为直线AB上任意一点，则点C的纵坐标是4.由此可以归纳出如下一般性结论：

（1）如果一些点在平行于x轴的直线上，那么这些点的纵坐标都相等;

（2）如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标都相等.

【反思l】回顾上述问题解答过程，逆向思考：在平面直角坐标系中，如果两个点的纵坐标相等且不等于0，那么这两点确定的直线与x轴平行吗？如果两个点的横坐标相等且不等于0，那么这两点确定的直线与y轴平行吗？

如图2，设点A （xi，y），B（X2，y），其中x1≠x2，y≠0.分别过点A.B作x轴的垂线，垂足分别是点C，D，则∠ACD=∠BDC=90°，故AC//BD.

又因为AC=BD= |y| >0，所以线段BD可以看成是由线段AC平移得到的，所以4B//CD，即AB//x轴.

同理，可以证明：若点M（x，Yi），N（x，y2），其中y1≠y2，x≠O，则MN//y轴.

于是我们归纳得到如下结论：在平面直角坐标系中，如果两个点的纵坐标相等且不为0，那么这两点确定的直线与x轴平行;同样地，如果两个点的横坐标相等且不为0，那么这两点确定的直线与y轴平行.

【反思2】回顾上面的分析过程，想一想，在AC=BD= |y| >0中，为什么要把坐标y加上“绝对值”？

理解这一点并不难，因为这里AC，BD表示线段的长度，而坐标y描述“有方向的量”，是一个赋予“+”或“一”属性的数，根据绝对值的定义，|y|正好表示平面直角坐标系中的点到x轴的距离.对此，我们强调，凡是用坐标表示相关线段的长度，一定要加上绝对值符号，防止漏解，而且加上绝对值符号，进而参与运算，可以回避分类讨论带来的麻烦，

例2在平面直角坐标系中，已知点A（m-2，0），B（0，4-2m），若S△ABO=9，求点A，B的坐标.

解析：根据题意得AO= |m-2|，BO=|4-2m|=2|m-2|.

所以.S△ABO=1/2AOxBO= 1/2|m-2|×2|m-2|=|m-2|2，故|m-2|2=9，即（m-2）2=9.

解得m=5或m=-1.故点A.B的坐标可分别为（3，0），（0，-6），也可分别为（-3，0），（0，6）.

【反思3】数轴上表示数a，b的两个点A，B，它们之间的距离可以表示为AB=|a-b|.把这个规律拓展到平面直角坐标系中，得到：x轴上或平行于x轴的直线上两个点A （x1，y），B（x2，y），其中XI≠X2，它们之间的距离可以表示为AB= |x2-x1|;同样，），轴上或平行于y軸的直线上两个点C（x，y1），D（x，y2），其中y1≠y2，它们之间的距离可以表示为CD=|y2-y1|.运用此结论，可给我们解决相关问题带来方便，

例3在平面直角坐标系中，已知点A （-2，4），B（3，4），C（m，4），若A C=2AB，求m的值.

解析1：AB=3-（-2）=5，当点C在点A的左侧时，与上面分析相同，得AC=-2-m=10，解得m=-12.当点C在线段AB上时，AC不可能等于AB.当点C在点B的右侧时，AC=m+2=10，解得m=8，符合题意，故m的值为-12或8.

解析2：AB=3一（一2）=5，因为点A（-2，4），B（3，4），C（m，4），所以点A，B，C在同一条平行于x轴的直线上.

而AC= |m-（-2）|=|m+2|，由已知得|m+2|=2x5，解得m=-12或m=8.

故m的值为-12或8.

【反思4】比较上面两种解法，显而易见，方法2引用绝对值符号，思路更清晰，过程更简捷，回避了分类讨论，减少了解题错误发生率.

例4在平面直角坐标系中，已知点A （-2，4），B（3，4），C（1，1），D（1，m），若A ，B，C，D四点构成的图形的面积是10.求m的值，

解析：如图3，因为点A （-2，4），B（3，4），所以AB//x轴，且AB=3-（-2）=5.

又因为点C（1，1），D（1，m），所以CD∥y轴，且CD=|m-1 1|.

易证AB⊥CD，所以A，B，C，D四点构成的四边形的面积等于1/2AB×CD，所以5/2|m-11=

10.解得m=5或m=-3.

练一练

1.已知点A（2，m2），B（m，4），则当m=时，AB//x轴.

2.已知点A（2，2m+1），B（2，m+3），若AB=5，则m=

一.

3.已知点A（2，2m+1），B（3，4），C（2，3），D（-1，-1），若A，B，C，D四点构成的四边形面积等于12，则m=____.

4如图4，已知点B（5-2m，n），A（2m+1，n-1），C（O，3），若AB //OC，则四边形ABCO的面积等于

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参考答案：1.-22.7或-3 3.4或-2 4.6